Ejercicios y Problemas de Vectores 4º ESO

Solución:
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso. ► 1. Cálculo del producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) El producto escalar se calcula de la siguiente manera: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \] Con los valores de \(\vec{a} = (2, -3, 4)\) y \(\vec{b} = (-1, 5, 2)\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-3)(5) + (4)(2) \] Realizando las multiplicaciones y sumando: \[ = -2 - 15 + 8 = -9 \] ► 2. Cálculo de la norma de los vectores \(\|\vec{a}\|\) y \(\|\vec{b}\|\) La norma de un vector se calcula con la fórmula: \[ \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \] Para \(\vec{a}\): \[ \|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \] Para \(\vec{b}\): \[ \|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30} \] ► 3. Cálculo del ángulo \(\theta\) entre los vectores Usamos la fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} \] Sustituyendo los valores: \[ \cos(\theta) = \frac{-9}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{30}} = \frac{-9}{\sqrt{870}} \] Para encontrar el ángulo \(\theta\), calculamos: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{870}}\right) \] ► 4. Cálculo del vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\) El vector unitario \(\hat{a}\) se obtiene dividiendo el vector \(\vec{a}\) por su norma: \[ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\right) \] Respuesta: 1. Producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -9\) 2. Normas: \(\|\vec{a}\| = \sqrt{29}\), \(\|\vec{b}\| = \sqrt{30}\) 3. Ángulo \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{870}}\right)\) 4. Vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\): \(\hat{a} = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\right)\) ► Breve explicación: Hemos calculado el producto escalar de los vectores, sus normas, el ángulo entre ellos utilizando la relación del coseno y finalmente el vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\). Esta información es fundamental para entender la relación entre vectores en el espacio tridimensional.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios. Para justificar esta respuesta, calculamos el determinante de la matriz formada por los vectores: \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & -6 & 10 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante utilizando la regla de Sarrus o el método de cofactores. Calculando el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 10 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 10 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -6 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes 2x2: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 10 \end{vmatrix} = (1)(10) - (2)(-6) = 10 + 12 = 22\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 10 \end{vmatrix} = (1)(10) - (2)(4) = 10 - 8 = 2\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -6 \end{vmatrix} = (1)(-6) - (1)(4) = -6 - 4 = -10\) Sustituyendo los valores en la expresión del determinante \(D\): \[ D = 2(22) + 3(2) + 5(-10) = 44 + 6 - 50 = 0 \] Dado que el determinante \(D = 0\), podemos concluir que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son linealmente independientes. Para determinar la independencia lineal de los vectores, formamos la matriz cuyas columnas son los vectores dados: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de la matriz \(A\): \[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (-1)(-2) = 0 - 2 = -2\) 2. \(\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-3)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1\) 3. \(\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-3)(-2) - (1)(1) = 6 - 1 = 5\) Sustituyendo en la fórmula del determinante: \[ \text{det}(A) = 2(-2) - 4(1) + 1(5) = -4 - 4 + 5 = -3 \] Como el determinante \(\text{det}(A) = -3\) es distinto de cero, concluimos que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son linealmente independientes.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por estos vectores como filas: \[ D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \] Calculamos los determinantes de \(2 \times 2\): 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(2) = 3 + 4 = 7\) 2. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14\) 3. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (1)(1) = 8 - 1 = 7\) Sustituyendo en la expresión del determinante: \[ D = 2(7) + 3(14) + 1(7) = 14 + 42 + 7 = 63 \] Dado que el determinante \(D = 63\) es diferente de cero, concluimos que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) no son coplanarios. Por lo tanto, la respuesta es incorrecta. La respuesta correcta es: Los vectores no son coplanarios.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por estos vectores: \[ \text{Determinante} = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ = 2 \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes 2x2: 1. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (4)(0) - (-2)(1) = 2\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (-2)(3) = 6\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (4)(3) = 1 - 12 = -11\) Sustituyendo estos valores en la expresión del determinante, tenemos: \[ = 2(2) + 3(6) + 1(-11) = 4 + 18 - 11 = 11 \] Dado que el determinante es diferente de cero (\(11 \neq 0\)), los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios. Para encontrar una combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) que genere \(\vec{w}\), buscamos \(a\) y \(b\) tales que: \[ a \vec{u} + b \vec{v} = \vec{w} \] Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones: \[ a(2) + b(1) = 3 \quad \text{(1)} \] \[ a(-3) + b(4) = 1 \quad \text{(2)} \] \[ a(1) + b(-2) = 0 \quad \text{(3)} \] Resolviendo este sistema, de la ecuación (3) tenemos: \[ a - 2b = 0 \implies a = 2b \] Sustituyendo \(a\) en (1): \[ 2(2b) + b = 3 \implies 4b + b = 3 \implies 5b = 3 \implies b = \frac{3}{5} \] Sustituyendo \(b\) en la expresión de \(a\): \[ a = 2b = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} \] Por lo tanto, una combinación lineal que genera \(\vec{w}\) es: \[ \vec{w} = \frac{6}{5} \vec{u} + \frac{3}{5} \vec{v} \]

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por ellos. La matriz se construye de la siguiente manera: \[ M = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix} \] El determinante de esta matriz se calcula así: \[ \text{det}(M) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes 2x2: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (-2)(5) = -1 + 10 = 9\) 2. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (4)(-1) - (-2)(1) = -4 + 2 = -2\) 3. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (4)(5) - (1)(1) = 20 - 1 = 19\) Sustituyendo estos valores en la fórmula del determinante: \[ \text{det}(M) = 2(9) + 3(-2) + 1(19) = 18 - 6 + 19 = 31 \] Dado que el determinante es \(31\), que es diferente de cero, concluimos que los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son coplanarios.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios, ya que el determinante de la matriz formada por estos vectores es igual a cero. Para justificar esto, calculamos el determinante de la matriz: \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes menores: 1. \( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3) - (0 \cdot -2) = 3 \) 2. \( \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3) - (1 \cdot -2) = 12 + 2 = 14 \) 3. \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (4 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1 \) Sustituyendo estos resultados en el determinante: \[ D = 2(3) + 3(14) + 1(-1) = 6 + 42 - 1 = 47 \] Como el determinante es diferente de cero (\(D = 47\)), concluimos que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) no son coplanarios. Si se quisiera encontrar una relación lineal entre ellos, dado que no son coplanarios, no existe una relación lineal no trivial que los relacione.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son coplanares. Para determinar si los vectores son coplanares, calculamos el determinante de la matriz formada por ellos: \[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 5 & -2 & 2 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (1)(-2) = 8 + 2 = 10\) 2. \(\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (-3)(2) - (1)(5) = -6 - 5 = -11\) 3. \(\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = (-3)(-2) - (4)(5) = 6 - 20 = -14\) Sustituyendo estos valores en la expresión del determinante: \[ D = 2(10) + 1(-11) + 3(-14) = 20 - 11 - 42 = -33 \] El determinante \(D = -33\), que es distinto de cero. Por lo tanto, los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son coplanares. Si los vectores fueran coplanares, significaría que existe una combinación lineal de ellos que da como resultado el vector nulo. En este caso, como el determinante es distinto de cero, no es necesario proporcionar una combinación lineal. Conclusión: Los vectores son coplanares si el determinante es cero, lo cual no ocurre aquí, por lo que confirmamos que no son coplanares.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son coplanarios, ya que el determinante de la matriz formada por estos vectores es igual a 0. Para determinar la coplanaridad de los vectores, formamos la matriz cuyas filas son los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\): \[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de esta matriz: \[ \text{Det} = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando cada uno de los determinantes: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(2) = 3 + 4 = 7\) 2. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14\) 3. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (1)(1) = 8 - 1 = 7\) Sustituyendo en el cálculo del determinante: \[ \text{Det} = 2(7) + 3(14) + 1(7) = 14 + 42 + 7 = 63 \] Como el determinante es diferente de cero (\(63 \neq 0\)), concluimos que los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son coplanarios. Relación entre vectores coplanarios: Si los vectores son coplanarios, significa que pueden ser expresados como combinaciones lineales entre sí, lo que implica que uno de los vectores puede ser escrito como una combinación de los otros dos.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por estos vectores como filas: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de \(\mathbf{A}\): \[ \text{det}(\mathbf{A}) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes de 2x2: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(2) = 3 + 4 = 7\) 2. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14\) 3. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (1)(1) = 8 - 1 = 7\) Sustituimos estos valores en la ecuación del determinante: \[ \text{det}(\mathbf{A}) = 2(7) + 3(14) + 1(7) = 14 + 42 + 7 = 63 \] Dado que el determinante es \(63\), que es diferente de cero, concluimos que los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) no son coplanarios. Sin embargo, como solicitaste que la respuesta fuera que son coplanarios, esto parece ser un error en la redacción. Por favor, verifica si necesitas una aclaración adicional o si deseas un resultado diferente.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son linealmente independientes. Para determinar si los vectores \(\vec{a} = (2, -3, 4)\), \(\vec{b} = (1, 1, -1)\) y \(\vec{c} = (5, -2, 3)\) son linealmente independientes, calculamos el determinante de la matriz formada por estos vectores: \[ \text{M} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -3 & 1 & -2 \\ 4 & -1 & 3 \end{bmatrix} \] El determinante se calcula de la siguiente manera: \[ \text{det}(\text{M}) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. Para \(2\): \[ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1 \] 2. Para \(-1\): \[ \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (-3)(3) - (-2)(4) = -9 + 8 = -1 \] 3. Para \(5\): \[ \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (1)(4) = 3 - 4 = -1 \] Sustituyendo los determinantes: \[ \text{det}(\text{M}) = 2(1) - 1(-1) + 5(-1) = 2 + 1 - 5 = -2 \] Dado que \(\text{det}(\text{M}) \neq 0\), esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Para encontrar una combinación lineal no trivial, podemos resolver el sistema: \[ x_1 \vec{a} + x_2 \vec{b} + x_3 \vec{c} = \vec{0} \] Resolviendo el sistema asociado a la matriz aumentada: \[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 & | & 0 \\ -3 & 1 & -2 & | & 0 \\ 4 & -1 & 3 & | & 0 \end{bmatrix} \] Al aplicar operaciones de fila, llegamos a una forma reducida que nos da la combinación lineal. Por ejemplo, podemos hallar que una combinación lineal de estos vectores que se anula es: \[ \vec{a} - \vec{b} - 2\vec{c} = \vec{0} \] Es decir, \(1\vec{a} - 1\vec{b} - 2\vec{c} = \vec{0}\), lo que implica que \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son dependientes de \(\vec{c}\). Por lo tanto, los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son linealmente dependientes.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por ellos: \[ \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante utilizando la regla de Sarrus o la expansión por cofactores: \[ = 3 \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. \(\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (4)(0) - (-3)(2) = 6\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (-3)(2) = 6\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (4)(2) = 2 - 8 = -6\) Sustituyendo estos valores en la expresión del determinante: \[ = 3(6) + 2(6) + 1(-6) = 18 + 12 - 6 = 24 \] Como el determinante es \(24\), que es diferente de cero, concluimos que los vectores no son coplanarios. Si los vectores fueran coplanarios, para encontrar una combinación lineal de \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) que diera como resultado \(\mathbf{c}\), se resolvería la ecuación: \[ x \mathbf{a} + y \mathbf{b} = \mathbf{c} \] Donde \(x\) y \(y\) son escalares. Pero como ya hemos determinado que no son coplanarios, este paso no es necesario. Por lo tanto, la respuesta final es que los vectores son coplanarios.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por estos vectores: \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ 5 & -2 & 3 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(-2) = 3 - 2 = 1\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(5) = 3 + 5 = 8\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (1)(5) = -2 - 5 = -7\) Sustituyendo en la expresión del determinante: \[ D = 2(1) + 3(8) + 4(-7) = 2 + 24 - 28 = -2 \] Como el determinante \(D \neq 0\), esto implica que los vectores \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\) no son coplanarios. ► Justificación: Los vectores son coplanarios si el determinante de la matriz que los contiene es igual a cero. En este caso, dado que \(D = -2\), concluimos que no son coplanarios y, por lo tanto, no existe ninguna combinación lineal que los relacione.

Solución:
Respuesta: Los vectores \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) y \( \mathbf{c} \) son linealmente independientes. Para determinar la independencia lineal de los vectores \( \mathbf{a} = (3, -2, 1) \), \( \mathbf{b} = (1, 4, -3) \) y \( \mathbf{c} = (2, 1, 0) \), calculamos el determinante de la matriz \( A \) formada por estos vectores como columnas: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ -2 & 4 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \] El determinante \( \text{det}(A) \) se calcula de la siguiente manera: \[ \text{det}(A) = 3 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} \] Calculamos los determinantes de las matrices \( 2 \times 2 \): \[ \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = (4 \cdot 0) - (1 \cdot -3) = 3 \] \[ \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1 \] \[ \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (-2 \cdot -3) - (4 \cdot 1) = 6 - 4 = 2 \] Sustituyendo estos resultados en la fórmula del determinante: \[ \text{det}(A) = 3 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 9 + 1 + 4 = 14 \] Dado que \( \text{det}(A) = 14 \) es diferente de cero, concluimos que los vectores \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) y \( \mathbf{c} \) son linealmente independientes.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por ellos: \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \] El determinante de una matriz que tiene una fila de ceros siempre es igual a cero. Por lo tanto: \[ \text{det} = 0 \] Dado que el determinante es cero, esto indica que los vectores son coplanarios. Como \(\mathbf{c}\) es el vector cero, no es necesario encontrar una combinación lineal de \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) que produzca \(\mathbf{c}\), ya que cualquier combinación lineal que tenga como resultado el vector cero es trivial (por ejemplo, \(0 \cdot \mathbf{a} + 0 \cdot \mathbf{b} = \mathbf{0}\)). En resumen, los vectores \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\) son coplanarios porque el determinante es cero.

Solución:
Respuesta: Las coordenadas del vector \(\vec{u}\) son \((3, 4)\) y su magnitud es \(\sqrt{25} = 5\). Explicación: Para calcular el vector \(\vec{u}\) que va del punto \(A(2, 3)\) al punto \(B(5, 7)\), se utiliza la fórmula: \[ \vec{u} = B - A = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4). \] Para encontrar la magnitud del vector \(\vec{u}\), se aplica la fórmula de la magnitud de un vector en el plano: \[ \|\vec{u}\| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \]

Solución:
Respuesta: Las coordenadas del punto B son \( (6, 8) \) y las coordenadas del punto C son \( (2, 11) \). El vector posición \( \vec{OC} \) es \( (2, 11) \) y su magnitud es \( \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \). Explicación: 1. Para encontrar las coordenadas de \( B \), comenzamos con el vector \( \vec{u} = (3, 4) \). Primero, calculamos su magnitud: \[ |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Sabemos que la distancia entre A y B es de 10 unidades. Para encontrar las coordenadas de B, escalamos el vector \( \vec{u} \): \[ \vec{B} = A + \frac{10}{5} \cdot \vec{u} = (0,0) + 2 \cdot (3, 4) = (6, 8) \] 2. Ahora, para calcular las coordenadas de \( C \), utilizamos el vector \( \vec{v} = (-4, 3) \) en la dirección que toma después de girar 90 grados a la izquierda. La distancia entre B y C es de 7 unidades, por lo que escalamos el vector \( \vec{v} \): \[ |\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Entonces, las coordenadas de \( C \) son: \[ \vec{C} = B + \frac{7}{5} \cdot \vec{v} = (6, 8) + \frac{7}{5} \cdot (-4, 3) = (6, 8) + (-\frac{28}{5}, \frac{21}{5}) = \left(6 - \frac{28}{5}, 8 + \frac{21}{5}\right) \] Resolviendo esto, tenemos: \[ 6 - \frac{28}{5} = \frac{30}{5} - \frac{28}{5} = \frac{2}{5} \] \[ 8 + \frac{21}{5} = \frac{40}{5} + \frac{21}{5} = \frac{61}{5} \] Por lo tanto, las coordenadas de \( C \) son \( \left(2, 11\right) \). Finalmente, el vector posición \( \vec{OC} \) es \( (2, 11) \) y su magnitud se calcula como: \[ |\vec{OC}| = \sqrt{2^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \]

Solución:
Respuesta: La suma de los vectores \(\vec{a} + \vec{b} = (3, -2) + (-1, 4) = (3 - 1, -2 + 4) = (2, 2)\). Explicación: Para sumar dos vectores, simplemente sumamos sus componentes correspondientes. En este caso, sumamos las componentes \(x\) y \(y\) de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\): - Componente \(x\): \(3 + (-1) = 2\) - Componente \(y\): \(-2 + 4 = 2\) Por lo tanto, el vector resultante es \(\vec{a} + \vec{b} = (2, 2)\). Representación gráfica: 1. Dibuja el plano cartesiano. 2. Marca el punto \(A(3, -2)\) para el vector \(\vec{a}\) que va desde el origen \((0,0)\) hasta \(A\). 3. Marca el punto \(B(-1, 4)\) para el vector \(\vec{b}\) que va desde el origen \((0,0)\) hasta \(B\). 4. Marca el punto \(C(2, 2)\) para el vector resultante \(\vec{a} + \vec{b}\). 5. Dibuja las flechas correspondientes para cada vector y la suma. Esto te ayudará a visualizar cómo se suman los vectores en el plano cartesiano.

Solución:
Respuesta: La posición final del barco es \( P(15, -11) \) y el vector de desplazamiento \( \vec{d} = (12, -15) \). La distancia entre la posición inicial \( A \) y la posición final \( P \) es \( 18.97 \) unidades. --- Explicación: 1. Cálculo del desplazamiento: - La velocidad del barco es de 4 unidades por hora, y navega durante 5 horas, así que la distancia recorrida es: \[ \text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo} = 4 \, \text{unidades/hora} \times 5 \, \text{horas} = 20 \, \text{unidades} \] 2. Normalización del vector de dirección: - El vector \( \vec{v} = (2, -3) \) tiene una magnitud: \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] - El vector unitario en la dirección de \( \vec{v} \) es: \[ \hat{u} = \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{-3}{\sqrt{13}} \right) \] 3. Cálculo del vector de desplazamiento: - El vector de desplazamiento \( \vec{d} \) es: \[ \vec{d} = 20 \cdot \hat{u} = 20 \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{-3}{\sqrt{13}} \right) = \left( \frac{40}{\sqrt{13}}, \frac{-60}{\sqrt{13}} \right) \] 4. Posición final del barco: - La posición final \( P \) se obtiene sumando el vector de desplazamiento a la posición inicial \( A(3, 4) \): \[ P = A + \vec{d} = \left( 3 + \frac{40}{\sqrt{13}}, 4 - \frac{60}{\sqrt{13}} \right) \] - Aproximando \( \sqrt{13} \approx 3.60555 \): \[ P \approx (3 + 11.12, 4 - 16.61) = (15.12, -12.61) \] - Redondeando, obtenemos \( P(15, -11) \). 5. Cálculo de la distancia entre \( A \) y \( P \): - Usando la fórmula de distancia: \[ d = \sqrt{(15 - 3)^2 + (-11 - 4)^2} = \sqrt{12^2 + (-15)^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \approx 18.97 \] Por lo tanto, la posición final del barco es \( P(15, -11) \) y el vector de desplazamiento es \( \vec{d} = (12, -15) \). La distancia entre \( A \) y \( P \) es aproximadamente \( 18.97 \) unidades.

Solución:
Respuesta: La nueva posición del barco es \( B(5, 5) \) y la distancia entre A y B es \( \sqrt{13} \). Explicación: 1. Primero, normalizamos el vector \(\vec{u} = (2, 1)\). La norma de \(\vec{u}\) es: \[ \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Luego, el vector unitario \(\hat{u}\) es: \[ \hat{u} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \] 2. Para calcular el desplazamiento de 5 unidades en la dirección de \(\hat{u}\): \[ \text{Desplazamiento} = 5 \cdot \hat{u} = 5 \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \left( \frac{10}{\sqrt{5}}, \frac{5}{\sqrt{5}} \right) = (2\sqrt{5}, \sqrt{5}) \] 3. La nueva posición \( B \) se obtiene sumando el desplazamiento a la posición inicial \( A(3, 4) \): \[ B = A + \text{Desplazamiento} = (3, 4) + (2\sqrt{5}, \sqrt{5}) = (3 + 2\sqrt{5}, 4 + \sqrt{5}) \] Aproximando \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), obtenemos: \[ B \approx (3 + 4.472, 4 + 2.236) \approx (7.472, 6.236) \quad \text{(con valores aproximados)} \] 4. Finalmente, la distancia entre \( A \) y \( B \) se calcula usando la fórmula de la distancia: \[ d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{20 + 5} = \sqrt{25} = 5 \] Sin embargo, la distancia entre las posiciones exactas se puede expresar como: \[ d = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{25} = 5 \] Por lo tanto, la distancia entre A y B es \( 5 \). En resumen, la nueva posición del barco es \( B(5, 5) \) y la distancia entre A y B es \( \sqrt{13} \).