En el primer curso de la Educación Secundaria Obligatoria (ESO), las matemáticas se convierten en una herramienta fundamental para desarrollar el pensamiento lógico y resolver problemas cotidianos. En ResueltosOnline.com, ofrecemos una amplia variedad de recursos para ayudar a los estudiantes a comprender las escalas y su aplicación en diferentes contextos. A través de ejercicios teóricos y prácticos, nuestros usuarios podrán fortalecer sus conocimientos y mejorar su rendimiento académico en esta asignatura clave.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, encontrarás una selección de ejercicios y problemas resueltos relacionados con las escalas. Cada ejercicio viene acompañado de su respectiva solución, permitiendo así que los alumnos aprendan de manera efectiva y adquieran confianza en sus habilidades matemáticas.
Ejercicio 1:Un plano de una casa tiene una escala de 1:100. Si las dimensiones de la sala en el plano son 8 cm de ancho y 12 cm de largo, ¿cuáles son las dimensiones reales de la sala en metros? Además, si se quiere añadir una extensión de 3 metros de ancho a la sala, ¿cuál sería el nuevo ancho de la sala en el plano?
Solución: Respuesta: Las dimensiones reales de la sala son 8 metros de ancho y 12 metros de largo. El nuevo ancho de la sala en el plano sería 6 cm.
Explicación:
1. Para calcular las dimensiones reales de la sala, utilizamos la escala de 1:100. Esto significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad (1 metro).
- Ancho real: \( 8 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 800 \, \text{cm} = 8 \, \text{m} \)
- Largo real: \( 12 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 1200 \, \text{cm} = 12 \, \text{m} \)
2. Si se añade una extensión de 3 metros de ancho a la sala, el nuevo ancho real sería:
- Ancho nuevo: \( 8 \, \text{m} + 3 \, \text{m} = 11 \, \text{m} \)
3. Para encontrar el nuevo ancho en el plano, convertimos 11 metros a centímetros y luego a la escala del plano:
- Ancho nuevo en cm: \( 11 \, \text{m} = 1100 \, \text{cm} \)
- Nuevo ancho en el plano: \( \frac{1100 \, \text{cm}}{100} = 11 \, \text{cm} \)
Por lo tanto, el nuevo ancho de la sala en el plano sería 11 cm.
Ejercicio 2:Un arquitecto ha diseñado un plano para una casa en una escala de 1:50. Si la longitud real de una habitación es de 8 metros y el ancho es de 5 metros, calcula las dimensiones de la habitación en el plano. Luego, determina el área de la habitación tanto en la realidad como en el plano, y compara los resultados. ¿Cuál es la relación entre el área real y el área en el plano?
Solución: Respuesta: Las dimensiones de la habitación en el plano son 16 cm de longitud y 10 cm de ancho. El área real de la habitación es 40 m² y el área en el plano es 0,08 m². La relación entre el área real y el área en el plano es 500:1.
Explicación:
1. Cálculo de las dimensiones en el plano:
- Longitud real de la habitación: \(8 \, \text{m} = 800 \, \text{cm}\)
- Ancho real de la habitación: \(5 \, \text{m} = 500 \, \text{cm}\)
- En una escala de \(1:50\), las dimensiones en el plano se calculan dividiendo las dimensiones reales entre 50.
- Longitud en el plano:
\[
\frac{800 \, \text{cm}}{50} = 16 \, \text{cm}
\]
- Ancho en el plano:
\[
\frac{500 \, \text{cm}}{50} = 10 \, \text{cm}
\]
2. Cálculo del área:
- Área real de la habitación:
\[
\text{Área real} = \text{longitud} \times \text{ancho} = 8 \, \text{m} \times 5 \, \text{m} = 40 \, \text{m}^2
\]
- Área en el plano (en cm²):
\[
\text{Área en el plano} = 16 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 160 \, \text{cm}^2
\]
- Convertimos 160 cm² a m² (ya que \(1 \, \text{m}^2 = 10,000 \, \text{cm}^2\)):
\[
\text{Área en el plano} = \frac{160 \, \text{cm}^2}{10,000} = 0.016 \, \text{m}^2
\]
3. Relación entre áreas:
- Relación entre el área real y el área en el plano:
\[
\text{Relación} = \frac{\text{Área real}}{\text{Área en el plano}} = \frac{40 \, \text{m}^2}{0.016 \, \text{m}^2} = 2500:1
\]
Así, la relación correcta entre el área real y el área en el plano es \(2500:1\).
Ejercicio 3:Un arquitecto ha diseñado un plano a escala 1:200 para la construcción de un nuevo edificio. Si en el plano, la longitud de una de las paredes mide 15 cm, ¿cuál será la longitud real de esa pared en metros?
Además, si el edificio tiene una altura de 12 metros, ¿cuántos centímetros medirá esa altura en el plano?
Solución: Respuesta: La longitud real de la pared es de 30 metros y la altura del edificio en el plano medirá 6 cm.
Explicación:
1. Para calcular la longitud real de la pared:
- La escala es 1:200, lo que significa que 1 cm en el plano representa 200 cm en la realidad.
- La longitud en el plano es de 15 cm.
- Longitud real = 15 cm × 200 = 3000 cm = 30 metros.
2. Para calcular la altura del edificio en el plano:
- La altura real es de 12 metros, que equivale a 1200 cm (1 metro = 100 cm).
- Usando la escala 1:200, la altura en el plano se calcula dividiendo la altura real entre 200.
- Altura en el plano = 1200 cm ÷ 200 = 6 cm.
Ejercicio 4:Un arquitecto ha diseñado un plano de una casa en una escala de \(1:100\). Si en el plano, la longitud de la sala de estar mide \(8 \, \text{cm}\), ¿cuál será la longitud real de la sala de estar en metros? Además, si el ancho de la sala de estar en el plano mide \(4 \, \text{cm}\), calcula el área de la sala de estar en metros cuadrados.
Solución: Respuesta: La longitud real de la sala de estar es \(8 \, \text{m}\) y el área de la sala de estar es \(32 \, \text{m}^2\).
Explicación:
La escala \(1:100\) significa que \(1 \, \text{cm}\) en el plano representa \(100 \, \text{cm}\) en la realidad. Por lo tanto, para calcular la longitud real de la sala de estar, multiplicamos la medida en el plano por \(100\):
\[
\text{Longitud real} = 8 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 800 \, \text{cm} = 8 \, \text{m}
\]
Para el ancho, hacemos lo mismo:
\[
\text{Ancho real} = 4 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 400 \, \text{cm} = 4 \, \text{m}
\]
Finalmente, el área de la sala de estar se calcula como:
\[
\text{Área} = \text{Longitud} \times \text{Ancho} = 8 \, \text{m} \times 4 \, \text{m} = 32 \, \text{m}^2
\]
Ejercicio 5:Un arquitecto ha diseñado un plano de una casa a escala 1:100. En el plano, la longitud de la sala de estar es de 8 cm. ¿Cuál será la longitud real de la sala de estar en metros? Además, si se desea ampliar la sala de estar en un 20% respecto a su tamaño original, ¿cuál será la nueva longitud real en metros?
Solución: Respuesta: La longitud real de la sala de estar es de 8 metros. Si se amplía en un 20%, la nueva longitud real será de 9.6 metros.
Explicación:
1. La escala 1:100 significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad. Por lo tanto, para encontrar la longitud real de la sala de estar:
\[
\text{Longitud real} = \text{Longitud en el plano} \times 100 = 8 \, \text{cm} \times 100 = 800 \, \text{cm} = 8 \, \text{m}
\]
2. Para calcular la nueva longitud después de una ampliación del 20%, se multiplica la longitud original por 1.2:
\[
\text{Nueva longitud real} = 8 \, \text{m} \times 1.2 = 9.6 \, \text{m}
\]
Ejercicio 6:Un arquitecto ha diseñado un plano de una casa a escala 1:100. Si en el plano, la longitud de una pared mide 15 cm, ¿cuál será la longitud real de esa pared en metros? Además, si se quiere ampliar la casa a una escala de 1:50, ¿cuánto medirá la misma pared en el nuevo plano?
Solución: Respuesta: La longitud real de la pared es 15 metros y en el nuevo plano a escala 1:50 medirá 30 cm.
Explicación:
1. Para calcular la longitud real de la pared a partir del plano a escala 1:100, utilizamos la relación de la escala. La longitud real se obtiene multiplicando la medida en el plano por la escala:
\[
\text{Longitud real} = \text{Medida en el plano} \times \text{Escala} = 15 \, \text{cm} \times 100 = 1500 \, \text{cm} = 15 \, \text{m}
\]
2. Al cambiar la escala a 1:50, la longitud en el nuevo plano se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Medida en el nuevo plano} = \frac{\text{Longitud real}}{\text{Escala}} = \frac{1500 \, \text{cm}}{50} = 30 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud real de la pared es 15 metros, y en el nuevo plano a escala 1:50, la pared medirá 30 cm.
Ejercicio 7:Un arquitecto ha diseñado un plano de una casa en una escala de 1:100. Si en el plano, la longitud de una pared mide 15 cm, ¿cuál será la longitud real de esa pared en metros? Además, si desea añadir una habitación que en el plano mide 8 cm de largo, ¿cuál será su longitud real en metros? Calcula ambas longitudes y expresa tus respuestas en metros.
Solución: Respuesta: La longitud real de la pared es 15 metros y la longitud real de la habitación es 8 metros.
Explicación:
Para convertir las medidas del plano a la longitud real, utilizamos la escala 1:100. Esto significa que cada centímetro en el plano representa 100 centímetros en la realidad.
1. Para la pared:
- Longitud en el plano: 15 cm
- Longitud real: \( 15 \, \text{cm} \times 100 = 1500 \, \text{cm} \)
- Convertimos a metros: \( 1500 \, \text{cm} \div 100 = 15 \, \text{m} \)
2. Para la habitación:
- Longitud en el plano: 8 cm
- Longitud real: \( 8 \, \text{cm} \times 100 = 800 \, \text{cm} \)
- Convertimos a metros: \( 800 \, \text{cm} \div 100 = 8 \, \text{m} \)
Por lo tanto, la longitud real de la pared es 15 metros y la longitud real de la habitación es 8 metros.
Ejercicio 8:Un arquitecto está diseñando un plano para un edificio que se representará a escala 1:200. Si en el plano, la longitud de una pared mide 7.5 cm, ¿cuál será la longitud real de esa pared en metros? Además, si el arquitecto decide aumentar la escala a 1:100, ¿cuánto medirá la misma pared en el nuevo plano?
Solución: Respuesta: La longitud real de la pared es 15 metros. En la nueva escala 1:100, la longitud de la pared en el plano será de 7.5 cm.
Explicación:
1. Para la escala 1:200:
- La escala 1:200 significa que 1 cm en el plano representa 200 cm en la realidad.
- Si en el plano la longitud de la pared mide 7.5 cm, la longitud real se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Longitud real} = 7.5 \, \text{cm} \times 200 = 1500 \, \text{cm}
\]
- Convertimos centímetros a metros (1 m = 100 cm):
\[
1500 \, \text{cm} = \frac{1500}{100} = 15 \, \text{m}
\]
2. Para la nueva escala 1:100:
- La escala 1:100 significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad.
- Si se mantiene la misma longitud de la pared en el plano (7.5 cm), en la nueva escala, la longitud real en centímetros sería:
\[
\text{Longitud real} = 7.5 \, \text{cm} \times 100 = 750 \, \text{cm}
\]
- Convertimos a metros:
\[
750 \, \text{cm} = \frac{750}{100} = 7.5 \, \text{m}
\]
- Sin embargo, para la longitud en el nuevo plano, simplemente se mantiene la medida de 7.5 cm.
Así, en resumen, la longitud real de la pared es 15 metros y en la nueva escala la pared mediría 7.5 cm en el plano.
Ejercicio 9:Un arquitecto ha diseñado un plano de un edificio a escala 1:200. Si en el plano, la longitud de una pared mide \(15 \, \text{cm}\), ¿cuál será la longitud real de esa pared en metros? Además, si el arquitecto decide aumentar la escala a 1:100, ¿cuánto mediría la misma pared en el nuevo plano?
Solución: Respuesta: La longitud real de la pared es \(30 \, \text{m}\) y, en la nueva escala de 1:100, la pared mediría \(15 \, \text{cm}\) en el plano.
Explicación:
1. Escala 1:200: Esto significa que 1 cm en el plano representa 200 cm en la realidad. Por lo tanto, si la pared mide \(15 \, \text{cm}\) en el plano, la longitud real se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Longitud real} = 15 \, \text{cm} \times 200 = 3000 \, \text{cm}
\]
Convertimos \(3000 \, \text{cm}\) a metros:
\[
3000 \, \text{cm} = 30 \, \text{m}
\]
2. Nueva escala 1:100: En esta escala, 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad. Por lo tanto, si la misma pared mide \(15 \, \text{cm}\) en el nuevo plano, la longitud real sería:
\[
\text{Longitud real} = 15 \, \text{cm} \times 100 = 1500 \, \text{cm}
\]
Convertimos \(1500 \, \text{cm}\) a metros:
\[
1500 \, \text{cm} = 15 \, \text{m}
\]
Así que, en resumen: en la escala 1:200, la longitud real es \(30 \, \text{m}\) y en la nueva escala de 1:100, la longitud representa \(15 \, \text{cm}\) en el plano.
Ejercicio 10:Un arquitecto ha diseñado un plano de una casa a escala 1:100. Si la longitud de una pared en el plano mide 12 cm, ¿cuál será la longitud real de esa pared en metros? Además, si el arquitecto decide aumentar la escala a 1:50, ¿cuánto mediría la misma pared en el nuevo plano?
Solución: Respuesta: La longitud real de la pared es 12 metros. En el nuevo plano a escala 1:50, la pared mediría 6 cm.
Explicación:
1. Escala 1:100: Esto significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad. Por lo tanto, si la pared mide 12 cm en el plano, la longitud real se calcula multiplicando por 100:
\[
\text{Longitud real} = 12 \, \text{cm} \times 100 = 1200 \, \text{cm}
\]
Para convertir a metros, dividimos por 100:
\[
1200 \, \text{cm} \div 100 = 12 \, \text{m}
\]
2. Escala 1:50: Ahora, en la nueva escala, 1 cm en el plano representa 50 cm en la realidad. Entonces, si la pared sigue midiendo 12 cm en el plano, en este caso se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Longitud real} = 12 \, \text{cm} \times 50 = 600 \, \text{cm}
\]
Y al convertir a centímetros a metros:
\[
600 \, \text{cm} \div 100 = 6 \, \text{m}
\]
Así, la longitud de la pared en el nuevo plano a escala 1:50 sería 6 cm.
Ejercicio 11:Un arquitecto está diseñando un plano de una casa a escala 1:100. Si en el plano, la longitud de una pared mide 12 cm, ¿cuál será la longitud real de esa pared en metros? Además, si se desea aumentar la longitud de la pared en un 15% en el plano, ¿cuál será la nueva longitud de la pared en el plano y en la realidad?
Solución: Respuesta: La longitud real de la pared es 12 metros. Si se aumenta la longitud en un 15%, la nueva longitud en el plano será 13.8 cm y la longitud real será 13.8 metros.
Explicación:
1. Cálculo de la longitud real: Para convertir la longitud del plano a la longitud real, multiplicamos la medida en el plano por la escala. La escala es 1:100, lo que significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad (o 1 metro). Por lo tanto:
\[
\text{Longitud real} = 12 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 1200 \, \text{cm} = 12 \, \text{m}
\]
2. Aumento del 15%: Para calcular el nuevo tamaño en el plano, primero calculamos el 15% de 12 cm:
\[
15\% \text{ de } 12 \, \text{cm} = 0.15 \times 12 \, \text{cm} = 1.8 \, \text{cm}
\]
Luego, sumamos este aumento a la longitud original:
\[
\text{Nueva longitud en el plano} = 12 \, \text{cm} + 1.8 \, \text{cm} = 13.8 \, \text{cm}
\]
3. Conversión a longitud real: Ahora, convertimos la nueva longitud en el plano a la longitud real:
\[
\text{Nueva longitud real} = 13.8 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 1380 \, \text{cm} = 13.8 \, \text{m}
\]
Ejercicio 12:Un plano de una casa se ha dibujado a escala 1:100. Si la longitud de una habitación en el plano es de 15 cm, ¿cuál es la longitud real de la habitación en metros? Además, si la habitación tiene forma rectangular y sus lados miden en el plano 15 cm y 12 cm, ¿cuáles son las dimensiones reales de la habitación en metros?
Solución: Respuesta: La longitud real de la habitación es de 15 metros y las dimensiones reales de la habitación son 15 metros y 12 metros.
Para calcular la longitud real de la habitación, utilizamos la escala 1:100. Esto significa que 1 cm en el plano equivale a 100 cm en la realidad. Por lo tanto, si la longitud en el plano es de 15 cm, la longitud real se calcula multiplicando por 100:
\[
\text{Longitud real} = 15 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 1500 \, \text{cm}
\]
Para convertir centímetros a metros, dividimos entre 100:
\[
1500 \, \text{cm} \div 100 = 15 \, \text{m}
\]
Ahora, para la otra dimensión de la habitación que mide 12 cm en el plano:
\[
\text{Dimensión real} = 12 \, \text{cm} \times 100 \, \text{cm/cm} = 1200 \, \text{cm}
\]
Convertimos a metros:
\[
1200 \, \text{cm} \div 100 = 12 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, las dimensiones reales de la habitación son 15 metros y 12 metros.
Ejercicio 13:Un arquitecto ha diseñado un plano de una casa a escala 1:100. Si en el plano la longitud de una habitación mide 8 cm, ¿cuál es la longitud real de la habitación en metros? Calcula también el área de la habitación en el plano y en la realidad, suponiendo que la habitación es cuadrada.
Solución: Respuesta: La longitud real de la habitación es de 8 metros y el área en el plano es de 64 cm², mientras que el área real de la habitación es de 64 m².
Explicación:
1. La escala del plano es 1:100, lo que significa que 1 cm en el plano representa 100 cm en la realidad.
2. Si la longitud de la habitación en el plano es de 8 cm, la longitud real se calcula así:
\[
\text{Longitud real} = 8 \, \text{cm} \times 100 = 800 \, \text{cm} = 8 \, \text{m}
\]
3. Dado que la habitación es cuadrada, el área en el plano se calcula como:
\[
\text{Área en el plano} = \text{lado}^2 = 8 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 64 \, \text{cm}^2
\]
4. El área real de la habitación es:
\[
\text{Área real} = \text{lado}^2 = 8 \, \text{m} \times 8 \, \text{m} = 64 \, \text{m}^2
\]
Ejercicio 14:Un arquitecto está diseñando un plano de una casa a escala 1:50. Si la longitud real de una habitación es de 6 metros y el ancho es de 4 metros, ¿cuáles serán las dimensiones de la habitación en el plano? Además, si el arquitecto decide aumentar la longitud de la habitación en un 20% en el plano, ¿cuál será la nueva longitud y el nuevo ancho de la habitación en el plano? Utiliza la fórmula para calcular las dimensiones en escala y muestra todos los pasos de tu razonamiento.
Solución: Respuesta: La longitud en el plano será de 12 cm y el ancho será de 8 cm. Después del aumento del 20%, la nueva longitud será de 14.4 cm y el nuevo ancho será de 9.6 cm.
Explicación:
1. Cálculo de las dimensiones en el plano a escala 1:50:
- La longitud real de la habitación es de 6 metros.
- La escala es 1:50, lo que significa que 1 cm en el plano representa 50 cm en la realidad.
- Convertimos la longitud real a centímetros: \(6 \text{ m} = 600 \text{ cm}\).
- Ahora, aplicamos la escala:
\[
\text{Longitud en el plano} = \frac{600 \text{ cm}}{50} = 12 \text{ cm}
\]
- El ancho real de la habitación es de 4 metros:
\[
4 \text{ m} = 400 \text{ cm}
\]
- Aplicamos la escala al ancho:
\[
\text{Ancho en el plano} = \frac{400 \text{ cm}}{50} = 8 \text{ cm}
\]
2. Cálculo del nuevo tamaño después del aumento del 20%:
- Aumentamos la longitud en el plano en un 20%:
\[
\text{Nueva longitud} = 12 \text{ cm} + \left(0.20 \times 12 \text{ cm}\right) = 12 \text{ cm} + 2.4 \text{ cm} = 14.4 \text{ cm}
\]
- Aumentamos el ancho en el plano en un 20%:
\[
\text{Nuevo ancho} = 8 \text{ cm} + \left(0.20 \times 8 \text{ cm}\right) = 8 \text{ cm} + 1.6 \text{ cm} = 9.6 \text{ cm}
\]
Por lo tanto, las dimensiones finales de la habitación en el plano, después del aumento, son 14.4 cm de longitud y 9.6 cm de ancho.
Ejercicio 15:Un mapa tiene una escala de 1:50.000. Si la distancia entre dos ciudades en el mapa es de 6 cm, ¿cuál es la distancia real entre las dos ciudades en kilómetros? Calcula la distancia y expresa tu respuesta en forma de oración completa.
Solución: Respuesta: La distancia real entre las dos ciudades es de 3 kilómetros.
Explicación: Para calcular la distancia real, multiplicamos la distancia en el mapa (6 cm) por la escala del mapa, que es 50,000. Primero convertimos los centímetros a kilómetros:
\[
\text{Distancia real} = 6 \, \text{cm} \times 50,000 \, \text{cm} = 300,000 \, \text{cm}
\]
Ahora convertimos centímetros a kilómetros (1 km = 100,000 cm):
\[
\text{Distancia real en km} = \frac{300,000 \, \text{cm}}{100,000 \, \text{cm/km}} = 3 \, \text{km}
\]
Ejercicio 16:Un arquitecto está diseñando un plano a escala para un nuevo parque. La escala del plano es de 1:200, lo que significa que 1 cm en el plano representa 200 cm en la realidad. Si en el plano, la distancia entre dos caminos es de 7 cm, ¿cuál es la distancia real entre esos caminos en metros? Además, si el arquitecto quiere añadir un lago en el plano que tenga un área de 50 m² en la realidad, ¿cuál debería ser el área del lago en el plano en cm²?
Solución: Respuesta: La distancia real entre los caminos es de 14 m y el área del lago en el plano debe ser de 12.5 cm².
Explicación:
1. Distancia real entre los caminos:
La escala es de 1:200, lo que significa que cada 1 cm en el plano corresponde a 200 cm en la realidad. Si la distancia entre los caminos en el plano es de 7 cm, la distancia real es:
\[
\text{Distancia real} = 7 \, \text{cm} \times 200 \, \text{cm/cm} = 1400 \, \text{cm}
\]
Para convertir a metros, dividimos entre 100:
\[
\text{Distancia real en metros} = \frac{1400 \, \text{cm}}{100} = 14 \, \text{m}
\]
2. Área del lago en el plano:
El área real del lago es de 50 m². Dado que 1 m² = 10,000 cm², entonces:
\[
\text{Área real en cm²} = 50 \, \text{m²} \times 10,000 \, \text{cm²/m²} = 500,000 \, \text{cm²}
\]
Ahora, para convertir el área real al área en el plano, utilizamos la relación de la escala. Dado que el área se escala al cuadrado de la relación de la escala:
\[
\text{Área en el plano} = \frac{500,000 \, \text{cm²}}{200 \times 200} = \frac{500,000 \, \text{cm²}}{40,000} = 12.5 \, \text{cm²}
\]
Ejercicio 17:Un arquitecto está diseñando un plano para un nuevo parque. En el plano, la distancia entre dos puntos A y B es de 12 cm. Si la escala del plano es de 1:200, ¿cuál es la distancia real entre los puntos A y B en metros? Además, si el arquitecto decide ampliar el plano a una escala de 1:100, ¿cuál sería la nueva distancia entre los puntos A y B en el plano?
Solución: Respuesta: La distancia real entre los puntos A y B es de 2400 metros. La nueva distancia entre los puntos A y B en el plano, con la escala de 1:100, sería de 6 cm.
Explicación:
1. Para calcular la distancia real entre A y B, utilizamos la escala dada. La escala 1:200 significa que 1 cm en el plano corresponde a 200 cm en la realidad. Por lo tanto, la distancia real se calcula así:
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el plano} \times \text{Factor de escala}
\]
\[
\text{Distancia real} = 12 \, \text{cm} \times 200 = 2400 \, \text{cm}
\]
Convertimos centímetros a metros dividiendo entre 100:
\[
2400 \, \text{cm} \div 100 = 24 \, \text{m}
\]
2. Para la nueva escala de 1:100, el cálculo es similar. En este caso, 1 cm en el plano corresponde a 100 cm en la realidad. La distancia en el plano se ajusta:
\[
\text{Nueva distancia en el plano} = \text{Distancia real} \div \text{Nuevo factor de escala}
\]
\[
\text{Nueva distancia en el plano} = 2400 \, \text{cm} \div 100 = 24 \, \text{cm}
\]
Pero, dado que estamos ampliando el plano, simplemente tomamos la distancia del plano original y aplicamos el nuevo factor de escala:
\[
\text{Nuevo tamaño en el plano} = \text{Distancia en el plano} \times \frac{200}{100} = 12 \, \text{cm} \times 0.5 = 6 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la respuesta está completa.
Ejercicio 18:Un arquitecto ha diseñado un plano de un edificio que tiene una escala de 1:200. Si en el plano, la distancia entre la entrada principal y el estacionamiento es de 12 cm, ¿cuál será la distancia real entre estos dos puntos en metros? Además, si el arquitecto desea que la entrada principal esté a 50 metros de la calle, ¿cuánto deberá medir en el plano para que respete la misma escala?
Solución: Respuesta: La distancia real entre la entrada principal y el estacionamiento es de 24 metros. Para que la entrada principal esté a 50 metros de la calle, deberá medir 25 cm en el plano.
Explicación:
1. Para calcular la distancia real entre la entrada principal y el estacionamiento, usamos la escala 1:200. Esto significa que 1 cm en el plano equivale a 200 cm en la realidad.
\[
\text{Distancia real} = \text{Distancia en el plano} \times 200
\]
\[
\text{Distancia real} = 12 \, \text{cm} \times 200 = 2400 \, \text{cm}
\]
Convertimos 2400 cm a metros (1 m = 100 cm):
\[
2400 \, \text{cm} = \frac{2400}{100} = 24 \, \text{m}
\]
2. Para calcular cuánto deberá medir en el plano la distancia de 50 metros a la calle:
\[
\text{Medida en el plano} = \frac{\text{Distancia real}}{200}
\]
\[
\text{Medida en el plano} = \frac{50 \, \text{m} \times 100 \, \text{(para convertir a cm)}}{200} = \frac{5000 \, \text{cm}}{200} = 25 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la distancia real entre los puntos es de 24 metros y en el plano, la entrada principal debe medir 25 cm.
Ejercicio 19:Un arquitecto está diseñando un plano de un edificio que tendrá una escala de 1:200. Si la altura real del edificio es de 30 metros, ¿cuál será la altura del edificio en el plano? Además, si el ancho real del edificio es de 15 metros, ¿cuál será su ancho en el plano? Expresa tus respuestas en centímetros.
Solución: Respuesta: La altura del edificio en el plano será de 15 cm y el ancho será de 7.5 cm.
Explicación: Para calcular las dimensiones en el plano, utilizamos la escala de 1:200. Esto significa que 1 cm en el plano representa 200 cm en la realidad.
1. Altura del edificio:
- Altura real: 30 metros = 3000 cm (ya que 1 metro = 100 cm).
- Altura en el plano: \( \frac{3000 \text{ cm}}{200} = 15 \text{ cm} \).
2. Ancho del edificio:
- Ancho real: 15 metros = 1500 cm.
- Ancho en el plano: \( \frac{1500 \text{ cm}}{200} = 7.5 \text{ cm} \).
Con esto, hemos convertido las dimensiones del edificio a las medidas correspondientes en el plano.
Ejercicio 20:Un edificio tiene una altura de 60 metros y se encuentra representado en un plano con una escala de 1:200. Si quisieras dibujar la representación del edificio en el plano, ¿cuál sería la altura del edificio en el plano? Además, si en el mismo plano se incluyen dos árboles que tienen una altura real de 5 metros, ¿cuál sería la altura de los árboles en el plano?
Recuerda utilizar la relación de la escala para realizar los cálculos.
Solución: Respuesta: La altura del edificio en el plano es de 30 centímetros y la altura de los árboles en el plano es de 2.5 centímetros.
Explicación:
Para calcular la altura en el plano, se utiliza la escala 1:200, lo que significa que 1 unidad en el plano representa 200 unidades en la realidad.
1. Altura del edificio:
\[
\text{Altura en el plano} = \frac{\text{Altura real}}{\text{Escala}} = \frac{60 \, \text{metros}}{200} = 0.3 \, \text{metros} = 30 \, \text{centímetros}
\]
2. Altura de los árboles:
\[
\text{Altura en el plano} = \frac{\text{Altura real}}{\text{Escala}} = \frac{5 \, \text{metros}}{200} = 0.025 \, \text{metros} = 2.5 \, \text{centímetros}
\]
Por lo tanto, las alturas en el plano son 30 cm para el edificio y 2.5 cm para los árboles.
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En esta sección, repasaremos los conceptos clave del temario de Escalas de 1º ESO en Matemáticas, lo cual te servirá como un recordatorio útil mientras realizas los ejercicios.
Temario:
Definición de escala
Tipos de escalas (escala numérica y escala gráfica)
Uso de escalas en mapas y maquetas
Cálculo de distancias reales a partir de escalas
Conversión entre diferentes unidades de medida
Recordatorio de Teoría:
La escala es una relación que permite representar la proporción entre las dimensiones de un objeto real y sus dimensiones en un dibujo, mapa o maqueta. Es fundamental entender que:
En una escala numérica, se expresa como una fracción o relación (por ejemplo, 1:100), donde el número uno representa la medida en el plano y el número dos la medida real.
En una escala gráfica, se utiliza una línea dividida en segmentos que representa distancias específicas.
Para calcular distancias reales, se utiliza la fórmula: Distancia real = Distancia en el plano × Factor de escala.
Es importante recordar que al trabajar con escalas, debes asegurarte de que todas las unidades estén en el mismo sistema de medida, ya sea en metros, centímetros, etc.
Si tienes dudas sobre algún concepto, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Buena suerte con tus ejercicios!
