Las funciones son uno de los conceptos más fundamentales en el estudio de las matemáticas en 4º de ESO. A través de ellas, los estudiantes aprenderán a relacionar variables y a interpretar gráficamente sus comportamientos. En ResueltosOnline.com, ofrecemos una amplia variedad de ejercicios y problemas resueltos que permiten a los alumnos afianzar sus conocimientos y desarrollar habilidades para resolver situaciones matemáticas de manera efectiva.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección, encontrarás una selección de ejercicios y problemas resueltos sobre funciones, junto con sus respectivas soluciones. Esto te permitirá practicar y comprobar tu comprensión de los conceptos presentados, facilitando así tu aprendizaje en la materia.
Ejercicio 1:Una tienda vende dos tipos de camisetas: las camisetas normales a un precio de \(10\) euros cada una y las camisetas de edición limitada a \(20\) euros cada una. Si el número total de camisetas vendidas en un día fue \(50\) y se recaudaron \(700\) euros, ¿cuántas camisetas normales y cuántas camisetas de edición limitada se vendieron? Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones correspondiente.
Solución: Respuesta: Se vendieron \(30\) camisetas normales y \(20\) camisetas de edición limitada.
Para resolver este ejercicio, planteamos un sistema de ecuaciones.
1. Sea \(x\) el número de camisetas normales vendidas.
2. Sea \(y\) el número de camisetas de edición limitada vendidas.
A partir de la información del problema, podemos establecer las siguientes ecuaciones:
\[
x + y = 50 \quad \text{(ecuación 1: total de camisetas)}
\]
\[
10x + 20y = 700 \quad \text{(ecuación 2: total recaudado en euros)}
\]
Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones. De la ecuación 1, podemos despejar \(y\):
\[
y = 50 - x
\]
Sustituimos este valor de \(y\) en la ecuación 2:
\[
10x + 20(50 - x) = 700
\]
Desarrollamos la ecuación:
\[
10x + 1000 - 20x = 700
\]
Simplificamos:
\[
-10x + 1000 = 700
\]
Restamos \(1000\) a ambos lados:
\[
-10x = -300
\]
Dividimos entre \(-10\):
\[
x = 30
\]
Ahora sustituimos \(x\) en la ecuación 1 para encontrar \(y\):
\[
30 + y = 50
\]
Despejamos \(y\):
\[
y = 50 - 30 = 20
\]
Por lo tanto, la solución es \(x = 30\) (camisetas normales) y \(y = 20\) (camisetas de edición limitada).
Ejercicio 2:Determina si la siguiente relación representa una función. Si es así, escribe su dominio y rango:
\[ R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 5)\} \]
Explica tu respuesta.
Solución: Respuesta: No representa una función.
Explicación:
Para que una relación sea considerada una función, cada elemento del dominio (primer componente de los pares ordenados) debe estar asociado con exactamente un único elemento del codominio (segundo componente de los pares ordenados).
En la relación \( R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 5)\} \), el número \( 1 \) aparece como primer componente en dos pares: \( (1, 2) \) y \( (1, 5) \). Esto significa que el elemento \( 1 \) se asocia con dos valores diferentes, \( 2 \) y \( 5 \). Debido a esta situación, la relación no cumple la condición de ser una función.
Por lo tanto, no se puede determinar un dominio y un rango válidos para esta relación, ya que no es una función.
Ejercicio 3:Encuentra la intersección entre las funciones \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) y \( g(x) = -x + 4 \). Determina los puntos de intersección y verifica si son máximos, mínimos o puntos de inflexión. Además, calcula el área encerrada entre ambas funciones en el intervalo donde se intersectan.
Solución: Respuesta: Los puntos de intersección son \( (1, 3) \) y \( (2, 2) \). Se determina que \( (1, 3) \) es un máximo y \( (2, 2) \) es un mínimo. El área encerrada entre las funciones en el intervalo \([1, 2]\) es \( \frac{1}{3} \) unidades cuadradas.
---
Explicación:
1. Para encontrar la intersección de las funciones \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) y \( g(x) = -x + 4 \), igualamos las dos funciones:
\[
2x^2 - 3x + 1 = -x + 4
\]
Esto se simplifica a:
\[
2x^2 - 2x - 3 = 0
\]
Factorizando o usando la fórmula cuadrática, encontramos que las soluciones son \( x = 1 \) y \( x = 2 \).
2. Al sustituir estos valores en \( g(x) \):
- Para \( x = 1 \): \( g(1) = -1 + 4 = 3 \) → punto \( (1, 3) \)
- Para \( x = 2 \): \( g(2) = -2 + 4 = 2 \) → punto \( (2, 2) \)
3. Para determinar la naturaleza de los puntos, calculamos la segunda derivada de \( f(x) \):
\[
f'(x) = 4x - 3 \quad \text{y} \quad f''(x) = 4
\]
Como \( f''(x) > 0 \) en ambos puntos, \( (1, 3) \) es un máximo y \( (2, 2) \) es un mínimo.
4. Para calcular el área encerrada entre las funciones en el intervalo \([1, 2]\):
\[
\text{Área} = \int_{1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{1}^{2} \left( (-x + 4) - (2x^2 - 3x + 1) \right) \, dx
\]
Simplificando,
\[
= \int_{1}^{2} (-2x^2 + 2x + 3) \, dx
\]
Al resolver la integral, encontramos que el área encerrada es \( \frac{1}{3} \) unidades cuadradas.
Ejercicio 4:Determina la imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 5 \). Además, halla el valor de \( x \) para el cual \( f(x) = 15 \).
Solución: Respuesta: La imagen de \( x = 3 \) es \( f(3) = 11 \) y el valor de \( x \) para el cual \( f(x) = 15 \) es \( x = 5 \).
Explicación:
Para encontrar la imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 5 \), sustituimos \( x \) por 3:
\[
f(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11
\]
Para hallar el valor de \( x \) cuando \( f(x) = 15 \), igualamos la función a 15:
\[
2x + 5 = 15
\]
Restamos 5 a ambos lados:
\[
2x = 10
\]
Dividimos entre 2:
\[
x = 5
\]
Ejercicio 5:Determina la imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 5 \). Además, calcula el valor de \( f(0) \) y el valor de \( f(-2) \).
Solución: Respuesta: La imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 5 \) es \( f(3) = 11 \). Además, \( f(0) = 5 \) y \( f(-2) = 1 \).
Explicación: Para encontrar la imagen de \( x = 3 \) en la función, sustituimos \( x \) por \( 3 \):
\[
f(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11
\]
Para calcular \( f(0) \):
\[
f(0) = 2(0) + 5 = 0 + 5 = 5
\]
Y para \( f(-2) \):
\[
f(-2) = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1
\]
Ejercicio 6:Determina la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). Luego, calcula el valor de \( y \) cuando \( x = 5 \).
Solución: Respuesta: La función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \) es \( y = 2x - 1 \). Cuando \( x = 5 \), el valor de \( y \) es \( 9 \).
Explicación: Para determinar la función lineal, primero calculamos la pendiente \( m \) usando la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
Luego, usamos la forma punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \) con el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Resolviendo, obtenemos:
\[
y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1
\]
Finalmente, para \( x = 5 \):
\[
y = 2(5) - 1 = 10 - 1 = 9
\]
Ejercicio 7:Determina la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). Calcula la pendiente y la ordenada al origen de la función. Luego, halla el valor de \( y \) cuando \( x = 5 \).
Solución: Respuesta: La función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \) es \( y = 2x - 1 \). Cuando \( x = 5 \), el valor de \( y \) es \( 9 \).
Explicación:
1. Para calcular la pendiente \( m \) de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \), utilizamos la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
2. Usando la fórmula de la ecuación de la recta \( y = mx + b \), sustituimos uno de los puntos para encontrar la ordenada al origen \( b \). Usamos el punto \( A(2, 3) \):
\[
3 = 2(2) + b \implies 3 = 4 + b \implies b = 3 - 4 = -1
\]
3. Por lo tanto, la ecuación de la recta es:
\[
y = 2x - 1
\]
4. Para encontrar \( y \) cuando \( x = 5 \):
\[
y = 2(5) - 1 = 10 - 1 = 9
\]
Ejercicio 8:Determina la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 6) \). Una vez que hayas encontrado los valores de \( a \), \( b \) y \( c \), grafica la función y determina su vértice y los puntos de intersección con los ejes \( x \) e \( y \).
Solución: Respuesta: La función cuadrática que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 6) \) es \( f(x) = x^2 + x \).
Explicación:
Para determinar la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \), planteamos un sistema de ecuaciones a partir de los puntos dados:
1. Para el punto \( A(1, 2) \):
\[
a(1^2) + b(1) + c = 2 \implies a + b + c = 2 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]
2. Para el punto \( B(2, 3) \):
\[
a(2^2) + b(2) + c = 3 \implies 4a + 2b + c = 3 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]
3. Para el punto \( C(3, 6) \):
\[
a(3^2) + b(3) + c = 6 \implies 9a + 3b + c = 6 \quad \text{(Ecuación 3)}
\]
Ahora resolvemos el sistema:
Restamos la Ecuación 1 de la Ecuación 2:
\[
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 3 - 2 \implies 3a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 4)}
\]
Restamos la Ecuación 2 de la Ecuación 3:
\[
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 6 - 3 \implies 5a + b = 3 \quad \text{(Ecuación 5)}
\]
Ahora resolvemos el sistema formado por las Ecuaciones 4 y 5:
Restamos la Ecuación 4 de la Ecuación 5:
\[
(5a + b) - (3a + b) = 3 - 1 \implies 2a = 2 \implies a = 1
\]
Sustituyendo \( a = 1 \) en la Ecuación 4:
\[
3(1) + b = 1 \implies 3 + b = 1 \implies b = -2
\]
Finalmente, sustituimos \( a = 1 \) y \( b = -2 \) en la Ecuación 1:
\[
1 - 2 + c = 2 \implies -1 + c = 2 \implies c = 3
\]
Por lo tanto, los coeficientes son:
\[
a = 1, \quad b = -2, \quad c = 3
\]
La función cuadrática es:
\[
f(x) = x^2 - 2x + 3
\]
Para graficar, podemos encontrar el vértice usando la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \):
\[
x_v = -\frac{-2}{2(1)} = 1
\]
Sustituyendo \( x_v \) en \( f(x) \):
\[
f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2
\]
El vértice es \( (1, 2) \).
Intersección con el eje \( y \) (cuando \( x = 0 \)):
\[
f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3
\]
Intersección con el eje \( y \) es \( (0, 3) \).
Intersección con el eje \( x \) (resolvemos \( f(x) = 0 \)):
\[
x^2 - 2x + 3 = 0
\]
Calculamos el discriminante:
\[
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8
\]
Como \( D < 0 \), no hay intersecciones con el eje \( x \).
Resumiendo:
- Función cuadrática: \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \)
- Vértice: \( (1, 2) \)
- Intersección con el eje \( y \): \( (0, 3) \)
- Sin intersección con el eje \( x \).
Ejercicio 9:Determina si la función \( f(x) = 2x + 3 \) es lineal y calcula su valor cuando \( x = 4 \).
Solución: Respuesta: La función \( f(x) = 2x + 3 \) es lineal y su valor cuando \( x = 4 \) es \( f(4) = 11 \).
Explicación:
Una función es lineal si se puede expresar en la forma \( f(x) = mx + b \), donde \( m \) y \( b \) son constantes. En este caso, \( m = 2 \) y \( b = 3 \), por lo que \( f(x) \) es una función lineal. Para calcular el valor de la función cuando \( x = 4 \), sustituimos \( x \) en la ecuación:
\[
f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11.
\]
Ejercicio 10:Una función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) tiene sus raíces en \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = -3 \). Si \( a = 1 \), determina los valores de \( b \) y \( c \) y escribe la forma explícita de la función. Después, grafica la función en un sistema de coordenadas y señala las raíces. ¿Qué características tiene la parábola en cuanto a su vértice y la dirección de apertura?
Solución: Respuesta: La función cuadrática es \( f(x) = x^2 + x - 6 \).
Para encontrar los valores de \( b \) y \( c \), utilizamos las raíces \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = -3 \) en la forma factorizada de la función cuadrática. La forma factorizada es:
\[
f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)
\]
Sustituyendo \( a = 1 \), \( x_1 = 2 \), y \( x_2 = -3 \):
\[
f(x) = 1(x - 2)(x + 3)
\]
Ahora, expandimos la expresión:
\[
f(x) = (x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6
\]
Por lo tanto, \( b = 1 \) y \( c = -6 \).
► Características de la parábola:
- Vértice: Se puede encontrar usando la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \). Sustituyendo \( b = 1 \) y \( a = 1 \):
\[
x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}
\]
Calculamos el valor de \( f(-\frac{1}{2}) \):
\[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4}
\]
Por lo tanto, el vértice es \( \left(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}\right) \).
- Dirección de apertura: La parábola abre hacia arriba, ya que \( a = 1 > 0 \).
► Graficar la función:
Por razones de formato, no puedo graficar directamente aquí, pero puedes utilizar herramientas como Desmos o GeoGebra para graficar la función \( f(x) = x^2 + x - 6 \) y señalar las raíces \( x = 2 \) y \( x = -3 \).
Así, hemos determinado la forma explícita de la función y analizado sus características.
Ejercicio 11:Determina la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 6) \). Calcula los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) y, además, halla el vértice de la parábola. ¿La parábola tiene un mínimo o un máximo? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: La función cuadrática es \( f(x) = x^2 + x \), con \( a = 1 \), \( b = 1 \) y \( c = 0 \). El vértice de la parábola es el punto \( V\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right) \). La parábola tiene un mínimo.
Explicación: Para encontrar los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \), utilizamos los puntos dados para plantear un sistema de ecuaciones. Al resolver este sistema, obtenemos \( a = 1 \), \( b = 1 \) y \( c = 0 \). El vértice se encuentra usando la fórmula \( V\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \). Dado que \( a > 0 \), la parábola tiene un mínimo.
Ejercicio 12:Determina la expresión de la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). Luego, calcula el valor de \( y \) cuando \( x = 6 \).
Solución: Respuesta: La expresión de la función lineal es \( y = 2x - 1 \) y cuando \( x = 6 \), \( y = 11 \).
Para encontrar la expresión de la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \), primero calculamos la pendiente \( m \) de la recta usando la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
Luego, usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Usando el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Desarrollando la ecuación:
\[
y - 3 = 2x - 4
\]
\[
y = 2x - 1
\]
Ahora, para calcular \( y \) cuando \( x = 6 \):
\[
y = 2(6) - 1 = 12 - 1 = 11
\]
Por lo tanto, el valor de \( y \) cuando \( x = 6 \) es \( 11 \).
Ejercicio 13:Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). Calcula la pendiente de la recta y escribe la ecuación en la forma \( y = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la ordenada al origen.
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \) es \( y = 2x - 1 \).
Para calcular la pendiente \( m \) de la recta que pasa por los puntos \( A(x_1, y_1) \) y \( B(x_2, y_2) \), utilizamos la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Sustituyendo \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \):
\[
m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
Ahora, usando la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, \( y - y_1 = m(x - x_1) \), con \( m = 2 \) y el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Desarrollando la ecuación:
\[
y - 3 = 2x - 4
\]
Sumando 3 a ambos lados:
\[
y = 2x - 1
\]
Así, la ecuación de la recta es \( y = 2x - 1 \).
Ejercicio 14:Determina la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). ¿Cuál es la pendiente de la función y su intersección con el eje \( y \)?
Solución: Respuesta: La ecuación de la función lineal es \( y = 2x - 1 \). La pendiente de la función es \( m = 2 \) y su intersección con el eje \( y \) es \( -1 \).
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \), utilizamos la fórmula de la pendiente \( m \):
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2.
\]
Con la pendiente conocida, usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
\[
y - y_1 = m(x - x_1).
\]
Sustituyendo \( m = 2 \) y usando el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = 2(x - 2).
\]
Desarrollamos la ecuación:
\[
y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1.
\]
Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos la ecuación cuando \( x = 0 \):
\[
y = 2(0) - 1 = -1.
\]
Así, la intersección con el eje \( y \) es \( -1 \).
Ejercicio 15:Determina la ecuación de la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 5) \). Luego, halla el vértice de la parábola y determina si la función tiene máximos o mínimos. Calcula también el valor de \( f(4) \).
Solución: Respuesta: La ecuación de la función cuadrática es \( f(x) = x^2 + 0x + 1 \), el vértice es \( (0, 1) \), la función tiene un mínimo y \( f(4) = 17 \).
Para encontrar la ecuación de la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \), necesitamos resolver el sistema de ecuaciones que se forma al sustituir los puntos dados:
1. Para el punto \( A(1, 2) \):
\[
a(1)^2 + b(1) + c = 2 \implies a + b + c = 2 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]
2. Para el punto \( B(2, 3) \):
\[
a(2)^2 + b(2) + c = 3 \implies 4a + 2b + c = 3 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]
3. Para el punto \( C(3, 5) \):
\[
a(3)^2 + b(3) + c = 5 \implies 9a + 3b + c = 5 \quad \text{(Ecuación 3)}
\]
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones.
Restamos la Ecuación 1 de la Ecuación 2:
\[
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 3 - 2 \implies 3a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 4)}
\]
Restamos la Ecuación 2 de la Ecuación 3:
\[
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 5 - 3 \implies 5a + b = 2 \quad \text{(Ecuación 5)}
\]
Ahora resolvemos las Ecuaciones 4 y 5:
Restamos la Ecuación 4 de la Ecuación 5:
\[
(5a + b) - (3a + b) = 2 - 1 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}
\]
Sustituyendo \( a \) en la Ecuación 4:
\[
3\left(\frac{1}{2}\right) + b = 1 \implies \frac{3}{2} + b = 1 \implies b = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}
\]
Sustituyendo \( a \) y \( b \) en la Ecuación 1:
\[
\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + c = 2 \implies c = 2
\]
Así, la ecuación de la función cuadrática es:
\[
f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 2
\]
Para hallar el vértice de la parábola, usamos la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \):
\[
x_v = -\frac{-\frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}
\]
Sustituyendo \( x_v \) en \( f(x) \) para encontrar \( y_v \):
\[
f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) + 2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 2 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{16}{8} = \frac{15}{8}
\]
Por tanto, el vértice es \( \left(\frac{1}{2}, \frac{15}{8}\right) \).
Dado que \( a > 0 \), la función tiene un mínimo.
Finalmente, calculamos \( f(4) \):
\[
f(4) = \frac{1}{2}(4)^2 - \frac{1}{2}(4) + 2 = \frac{1}{2}(16) - 2 + 2 = 8 - 2 + 2 = 8
\]
Por lo tanto, \( f(4) = 8 \).
Ejercicio 16:Determina la ecuación de la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 6) \). Calcula los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \) y grafica la función en el intervalo \([-1, 4]\). ¿Cuáles son las intersecciones con los ejes \( x \) e \( y \)?
Solución: Respuesta: La ecuación de la función cuadrática es \( f(x) = x^2 + x \).
Para determinar los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \) de la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 6) \), formamos un sistema de ecuaciones a partir de estos puntos:
1. Para \( A(1, 2) \):
\[
a(1)^2 + b(1) + c = 2 \implies a + b + c = 2
\]
2. Para \( B(2, 3) \):
\[
a(2)^2 + b(2) + c = 3 \implies 4a + 2b + c = 3
\]
3. Para \( C(3, 6) \):
\[
a(3)^2 + b(3) + c = 6 \implies 9a + 3b + c = 6
\]
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{align*}
1. & \quad a + b + c = 2 \quad \text{(1)} \\
2. & \quad 4a + 2b + c = 3 \quad \text{(2)} \\
3. & \quad 9a + 3b + c = 6 \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]
Restamos la ecuación (1) de (2) y (3):
- De (2) - (1):
\[
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 3 - 2 \implies 3a + b = 1 \quad \text{(4)}
\]
- De (3) - (2):
\[
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 6 - 3 \implies 5a + b = 3 \quad \text{(5)}
\]
Ahora resolvemos el sistema de (4) y (5):
\[
\begin{align*}
1. & \quad 3a + b = 1 \\
2. & \quad 5a + b = 3
\end{align*}
\]
Restamos (4) de (5):
\[
(5a + b) - (3a + b) = 3 - 1 \implies 2a = 2 \implies a = 1
\]
Sustituimos \( a = 1 \) en (4):
\[
3(1) + b = 1 \implies 3 + b = 1 \implies b = -2
\]
Ahora sustituimos \( a \) y \( b \) en (1):
\[
1 - 2 + c = 2 \implies -1 + c = 2 \implies c = 3
\]
Por lo tanto, los coeficientes son:
\[
a = 1, \quad b = -2, \quad c = 3
\]
La función cuadrática es:
\[
f(x) = x^2 - 2x + 3
\]
► Intersecciones con los ejes:
- Intersección con el eje \( y \): Cuando \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad (0, 3)
\]
- Intersecciones con el eje \( x \): Se resuelve \( f(x) = 0 \):
\[
x^2 - 2x + 3 = 0
\]
Calculamos el discriminante:
\[
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8
\]
Como \( D < 0 \), no hay intersecciones con el eje \( x \).
Por lo tanto, la función no corta el eje \( x \) y solo intersecta el eje \( y \) en el punto \( (0, 3) \).
Ejercicio 17:Determina la ecuación de la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 5) \). Luego, calcula el vértice de la parábola y determina si el vértice se encuentra en un máximo o un mínimo.
Solución: Respuesta: La ecuación de la función cuadrática es \( f(x) = x^2 + x + 1 \). El vértice de la parábola se encuentra en el punto \( V\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) \) y el vértice corresponde a un mínimo.
Explicación: Para determinar la función cuadrática que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 5) \), se sustituyen estos puntos en la ecuación general \( f(x) = ax^2 + bx + c \) para obtener un sistema de ecuaciones:
1. Para \( A(1, 2) \): \( a(1)^2 + b(1) + c = 2 \) → \( a + b + c = 2 \)
2. Para \( B(2, 3) \): \( a(2)^2 + b(2) + c = 3 \) → \( 4a + 2b + c = 3 \)
3. Para \( C(3, 5) \): \( a(3)^2 + b(3) + c = 5 \) → \( 9a + 3b + c = 5 \)
Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que \( a = 1 \), \( b = 1 \) y \( c = 0 \). Por lo tanto, la función cuadrática es \( f(x) = x^2 + x + 1 \).
Para calcular el vértice \( V \) de la parábola, se utiliza la fórmula \( V\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \). En este caso:
- \( -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(1)} = -\frac{1}{2} \)
- \( f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \)
Por lo tanto, el vértice es \( V\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) \). Dado que \( a > 0 \), la parábola tiene un mínimo en este punto.
Ejercicio 18:Determina la ecuación de la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 6) \). Calcula los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) y representa gráficamente la función resultante en el mismo plano que los puntos dados. ¿Cuál es el vértice de la parábola y qué tipo de parábola es?
Solución: Respuesta: La ecuación de la función cuadrática es \( f(x) = x^2 + 0x + 1 \) o simplemente \( f(x) = x^2 + 1 \). Los valores son \( a = 1 \), \( b = 0 \), y \( c = 1 \).
El vértice de la parábola es el punto \( (0, 1) \) y la parábola es de tipo "hacia arriba", ya que \( a > 0 \).
Explicación:
Para determinar la ecuación de la función cuadrática que pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 6) \), establecemos el sistema de ecuaciones:
1. Para \( A(1, 2) \):
\[
a(1)^2 + b(1) + c = 2 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 2 \quad (1)
\]
2. Para \( B(2, 3) \):
\[
a(2)^2 + b(2) + c = 3 \quad \Rightarrow \quad 4a + 2b + c = 3 \quad (2)
\]
3. Para \( C(3, 6) \):
\[
a(3)^2 + b(3) + c = 6 \quad \Rightarrow \quad 9a + 3b + c = 6 \quad (3)
\]
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones:
Restamos la ecuación (1) de (2) y de (3):
De (2) - (1):
\[
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 3 - 2 \quad \Rightarrow \quad 3a + b = 1 \quad (4)
\]
De (3) - (1):
\[
(9a + 3b + c) - (a + b + c) = 6 - 2 \quad \Rightarrow \quad 8a + 2b = 4 \quad \Rightarrow \quad 4a + b = 2 \quad (5)
\]
Ahora resolvemos el sistema formado por (4) y (5):
Restamos (4) de (5):
\[
(4a + b) - (3a + b) = 2 - 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1
\]
Sustituyendo \( a = 1 \) en (4):
\[
3(1) + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = -2
\]
Sustituyendo \( a = 1 \) y \( b = -2 \) en (1):
\[
1 - 2 + c = 2 \quad \Rightarrow \quad c = 3
\]
Por lo tanto, la función cuadrática es:
\[
f(x) = 1x^2 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 3
\]
Finalmente, el vértice de la parábola, dado por la fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \), se calcula como:
\[
x = -\frac{-2}{2(1)} = 1
\]
Sustituyendo \( x = 1 \) en \( f(x) \):
\[
f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (1, 2) \).
La parábola es de tipo "hacia arriba" porque \( a = 1 > 0 \).
Ejercicio 19:Determina el dominio de la función \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \). ¿Para qué valores de \( x \) la función no está definida?
Solución: Respuesta: El dominio de la función \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \) es \( \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} \). La función no está definida para \( x = 1 \).
Explicación: La función racional \( f(x) \) está definida para todos los valores de \( x \) excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. En este caso, el denominador es \( x - 1 \), que se anula cuando \( x = 1 \). Por lo tanto, el dominio de \( f \) es todos los números reales excepto \( 1 \).
Ejercicio 20:Determina el dominio de la función \( f(x) = \frac{1}{x - 3} \). Explica por qué no está definido en ciertos valores de \( x \).
Solución: Respuesta: El dominio de la función \( f(x) = \frac{1}{x - 3} \) es \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).
Esto significa que la función está definida para todos los números reales excepto \( x = 3 \). La razón por la que no está definida en \( x = 3 \) es que al sustituir este valor en la función, el denominador se convierte en cero, lo que provoca que la expresión sea indefinida. En matemáticas, no se puede dividir entre cero, por lo tanto, \( x = 3 \) no está en el dominio de la función.
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En este apartado, te ofrecemos un breve resumen sobre el temario de Funciones que has estudiado en 4º de ESO. Este recordatorio puede ser útil si te surgen dudas mientras realizas los ejercicios. A continuación, te presentamos los temas principales que debes dominar:
Definición de función
Dominio y rango
Función lineal
Función cuadrática
Función radical
Función exponencial
Función logarítmica
Transformaciones de funciones
Composición de funciones
Funciones inversas
Ahora, vamos a recordar algunos de los conceptos clave que debes tener en cuenta:
Definición de función: Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto (rango).
Dominio y rango: El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada, mientras que el rango es el conjunto de posibles valores de salida. Es fundamental identificar estos conjuntos para entender el comportamiento de la función.
Función lineal: Se expresa en la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es el punto de intersección con el eje y. La gráfica de una función lineal es una línea recta.
Función cuadrática: Tiene la forma f(x) = ax² + bx + c. Su gráfica es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de a.
Transformaciones de funciones: Incluyen desplazamientos, estiramientos y reflejos de las gráficas de funciones. Estas transformaciones pueden alterar la forma y la posición de la gráfica sin cambiar la naturaleza de la función.
Composición de funciones: Se refiere a la aplicación de una función a los resultados de otra, expresada como (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Es importante conocer cómo se combinan las funciones para resolver problemas complejos.
Funciones inversas: Una función inversa «deshace» lo que hace la función original. Si f(x) toma un valor y, la función inversa f-1(y) devolverá el valor original x.
Recuerda que estos conceptos son fundamentales para entender y resolver los ejercicios relacionados con funciones. Si tienes alguna duda, no dudes en consultar el temario o preguntarle a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!
