Ejercicios y Problemas de Matemáticas 1º ESO

Solución:
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso. 1. ¿Cuál es el coste total del lote de camisetas para el comerciante? El comerciante compra 120 camisetas a un precio de 15 euros cada una. Para encontrar el coste total, multiplicamos el número de camisetas por el precio de cada una: \[ \text{Coste total} = \text{Número de camisetas} \times \text{Precio por camiseta} = 120 \times 15 = 1800 \text{ euros} \] Respuesta: 1800 euros --- 2. Si el comerciante vende todas las camisetas al precio de venta con descuento, ¿cuánto dinero obtendrá en total por la venta? El comerciante establece un precio de venta de 25 euros por camiseta, pero aplica un descuento del 25%. Primero, calculamos el precio de venta con descuento: \[ \text{Descuento} = 25 \times 0.25 = 6.25 \text{ euros} \] \[ \text{Precio de venta con descuento} = 25 - 6.25 = 18.75 \text{ euros} \] Ahora, multiplicamos el precio de venta con descuento por el número de camisetas: \[ \text{Total por la venta} = \text{Número de camisetas} \times \text{Precio de venta con descuento} = 120 \times 18.75 = 2250 \text{ euros} \] Respuesta: 2250 euros --- 3. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia o pérdida que el comerciante tendrá al final de la venta respecto al coste total del lote de camisetas? Primero, calculamos la ganancia: \[ \text{Ganancia} = \text{Total por la venta} - \text{Coste total} = 2250 - 1800 = 450 \text{ euros} \] Ahora, para calcular el porcentaje de ganancia respecto al coste total, usamos la fórmula: \[ \text{Porcentaje de ganancia} = \left(\frac{\text{Ganancia}}{\text{Coste total}} \times 100\right) = \left(\frac{450}{1800} \times 100\right) = 25\% \] Respuesta: 25% --- ► Resumen de las respuestas: 1. Coste total del lote: 1800 euros 2. Dinero total por la venta: 2250 euros 3. Porcentaje de ganancia: 25% ► Explicación: - El primer paso calculó el coste total del lote de camisetas, multiplicando la cantidad de camisetas por su precio unitario. - En el segundo paso, se aplicó el descuento para obtener el precio de venta final y se multiplicó por el número de camisetas para calcular el total de la venta. - Por último, se determinó la ganancia restando el coste total del total de la venta y se calculó el porcentaje de ganancia respecto al coste total. Este ejercicio ilustra el uso de descuentos y el cálculo de porcentajes, que son conceptos fundamentales en el área de proporcionalidad y porcentajes.

Solución:
Vamos a resolver la operación combinada paso a paso. La expresión original es: \[ 8 \times (3 + 5) - 12 \div 4 + 6^2 - (2^3 - 4) \] ► Paso 1: Resolver las operaciones dentro de los paréntesis Primero, resolvemos las operaciones que están dentro de los paréntesis: 1. \( 3 + 5 = 8 \) 2. \( 2^3 = 8 \), así que \( 2^3 - 4 = 8 - 4 = 4 \) Sustituyendo estos resultados en la expresión, tenemos: \[ 8 \times 8 - 12 \div 4 + 6^2 - 4 \] ► Paso 2: Resolver las potencias Ahora resolvemos la potencia: 1. \( 6^2 = 36 \) Sustituyendo este resultado, la expresión queda: \[ 8 \times 8 - 12 \div 4 + 36 - 4 \] ► Paso 3: Realizar las multiplicaciones y divisiones Ahora, procedemos con las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha: 1. \( 8 \times 8 = 64 \) 2. \( 12 \div 4 = 3 \) Sustituyendo estos resultados, la expresión se convierte en: \[ 64 - 3 + 36 - 4 \] ► Paso 4: Realizar las sumas y restas Finalmente, resolvemos las sumas y restas de izquierda a derecha: 1. \( 64 - 3 = 61 \) 2. \( 61 + 36 = 97 \) 3. \( 97 - 4 = 93 \) Respuesta: \[ \text{Respuesta: } 93 \] ► Explicación breve: Se resolvió la operación combinada siguiendo el orden de las operaciones: primero se calcularon las operaciones dentro de los paréntesis, luego las potencias, y finalmente se realizaron las multiplicaciones y divisiones antes de proceder a sumar y restar. Esto asegura que el resultado sea correcto y se obtenga de manera ordenada.

Solución:
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso: 1. ¿Cuántos pasteles venderán en total en esta ocasión? Se estima que venderán un 25% más de pasteles en comparación con la última venta, donde vendieron 80 pasteles. Para calcular el 25% de 80, usamos la fórmula: \[ 25\% \text{ de } 80 = \frac{25}{100} \times 80 = 20 \] Entonces, el número total de pasteles que venderán es: \[ 80 + 20 = 100 \] Respuesta: 100 pasteles. 2. Si logran vender todos los pasteles, ¿cuánto dinero recaudarán en total? Si el precio de un pastel es de 12 euros, entonces la recaudación total al vender 100 pasteles es: \[ \text{Recaudación} = 100 \text{ pasteles} \times 12 \text{ euros/pastel} = 1200 \text{ euros} \] Respuesta: 1200 euros. 3. Si deciden donar el 15% de lo recaudado a una organización benéfica, ¿cuánto dinero donarán? Para calcular el 15% de 1200 euros, utilizamos la fórmula: \[ 15\% \text{ de } 1200 = \frac{15}{100} \times 1200 = 180 \text{ euros} \] Respuesta: 180 euros. --- Explicación breve: Se ha calculado el número total de pasteles que se venderán al considerar un aumento del 25% sobre la cantidad vendida anteriormente. Luego, se multiplicó el número de pasteles por el precio unitario para determinar la recaudación total. Finalmente, se calculó el 15% de esa recaudación para saber cuánto se donará a la organización benéfica. Esto ilustra el uso de porcentajes y proporcionalidad en situaciones de la vida real.

Solución:
Respuesta: XXXI Explicación: 1. Convertimos los números romanos a arábigos: - \( VII = 7 \) - \( IX = 9 \) - Entonces, \( VII + IX = 7 + 9 = 16 \). 2. Para la segunda operación: - \( XIV = 14 \) - \( VI = 6 \) - Entonces, \( XIV - VI = 14 - 6 = 8 \). 3. Para la tercera operación: - \( XXV = 25 \) - \( V = 5 \) - Entonces, \( XXV \div V = 25 \div 5 = 5 \). Ahora, sumamos los resultados de las tres operaciones: - \( 16 + 8 + 5 = 29 \). Finalmente, convertimos \( 29 \) a números romanos, que es \( XXIX \). Sin embargo, al sumar los resultados de las operaciones nos damos cuenta que hay un error en la indicación inicial. La suma final es en total \( 16 + 8 + 5 = 29 \). Por lo tanto, al corregir y revisar, la respuesta correcta es: Respuesta final: XXIX

Solución:
Respuesta: XXVIII 1. XXV = 25 2. LXXXIV = 84 3. CXLII = 142 4. DCCLXXXIX = 789 La suma de los tres primeros resultados es: 25 + 84 + 142 = 251 Convertimos 251 a números romanos: 251 = CCLXI Sin embargo, el total que solicitaste es sumar los tres primeros resultados, que es 251. Pero si estás buscando la suma total en números romanos, sería CCLXI. Aquí está la solución correcta: Respuesta: CCLXI Explicación: Los números romanos se convierten a números arábigos sumando los valores de cada letra según su posición. Luego, se realiza la suma de los resultados arábigos y se convierte el total de vuelta a números romanos.

Solución:
Respuesta: XXVII Para convertir el número decimal 27 a números romanos, se descompone en sus componentes: 20 (XX) y 7 (VII). Así, se suman las representaciones romanas: - 20 se representa como XX (10 + 10). - 7 se representa como VII (5 + 1 + 1). Al combinarlos, obtenemos XXVII.

Solución:
Respuesta: XXVII Explicación: Para convertir el número entero 27 a números romanos, se descompone en sus valores: 20 (XX) y 7 (VII). Así, se combinan estos valores para obtener XXVII.

Solución:
Respuesta: XXVII Explicación: Para convertir el número natural 27 al sistema de números romanos, se descompone en sus valores. El número 27 se puede escribir como 20 + 7. En números romanos, 20 se representa como XX (10 + 10) y 7 se representa como VII (5 + 1 + 1). Al juntar ambos, obtenemos XXVII.

Solución:
Respuesta: XXVII Explicación: Para convertir el número decimal 27 a números romanos, se descompone en sus valores: 20 (XX) y 7 (VII). Por lo tanto, se representa como XXVII.

Solución:
Respuesta: XXVII Explicación: Para convertir el número arábigo 27 a número romano, se descompone de la siguiente manera: - 20 se representa como XX (10 + 10). - 7 se representa como VII (5 + 1 + 1). Por lo tanto, al juntar ambos, se obtiene XXVII.

Solución:
Respuesta: XXVII Explicación: El número arábigo 27 se descompone en 20 y 7. En números romanos, 20 se representa como XX (10 + 10) y 7 se representa como VII (5 + 1 + 1). Por lo tanto, al combinar ambos, se obtiene XXVII.

Solución:
Respuesta: XXVII Explicación: Para convertir el número 27 a números romanos, se descompone en sus valores: 20 (XX) y 7 (VII). En números romanos, 20 se representa como XX (dos veces 10) y 7 como VII (cinco más dos). Por lo tanto, la combinación de ambos da como resultado XXVII.

Solución:
Respuesta: VII, XII, XXV Explicación: Los números romanos se representan de la siguiente manera: - 7 se escribe como VII (5 + 2). - 12 se escribe como XII (10 + 2). - 25 se escribe como XXV (10 + 10 + 5). Recuerda que en los números romanos, las letras representan valores específicos: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, y M=1000.

Solución:
Respuesta: VII, XIV, XXIII, XXXIX Explicación: Los números romanos se forman utilizando combinaciones de letras del alfabeto latino. Aquí está la conversión de los números solicitados: - 7 se representa como VII (5 + 2). - 14 se representa como XIV (10 + 4). - 23 se representa como XXIII (20 + 3). - 39 se representa como XXXIX (30 + 9). Estas combinaciones siguen las reglas de los números romanos donde: - I = 1 - V = 5 - X = 10 - L = 50 - C = 100 - D = 500 - M = 1000

Solución:
Respuesta: Terminarán a las 12:30 p.m. Se jugarán 4 partidas de ajedrez y 6 partidas de damas. Explicación: Para resolver este problema, debemos encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de las duraciones de las partidas de ajedrez y damas. 1. Duraciones: - Partida de ajedrez: 45 minutos - Partida de damas: 30 minutos 2. Descomposición en factores primos: - 45 = \(3^2 \times 5\) - 30 = \(2 \times 3 \times 5\) 3. Cálculo del MCM: - Tomamos los factores primos con sus mayores exponentes: - \(2^1\) (de 30) - \(3^2\) (de 45) - \(5^1\) (de 30 y 45) Entonces, el MCM es: \[ MCM = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 2 \times 9 \times 5 = 90 \text{ minutos} \] 4. Tiempo total de juego: - Desde las 10:00 a.m., 90 minutos después es a las 11:30 a.m. 5. Número de partidas: - Para ajedrez: \[ \text{Número de partidas} = \frac{90 \text{ minutos}}{45 \text{ minutos/partida}} = 2 \text{ partidas} \] - Para damas: \[ \text{Número de partidas} = \frac{90 \text{ minutos}}{30 \text{ minutos/partida}} = 3 \text{ partidas} \] Sin embargo, el problema pide maximizar el número de partidas, por lo que podemos jugar más partidas si ajustamos los tiempos. 6. Ajustando para el máximo número de partidas: - Si jugamos 4 partidas de ajedrez: \(4 \times 45 = 180\) minutos. - Si jugamos 6 partidas de damas: \(6 \times 30 = 180\) minutos. Por lo tanto, ambos torneos terminan a las 12:30 p.m. después de jugar el máximo de partidas posibles.

Solución:
Respuesta: Sí, el triángulo es rectángulo. Para justificar la respuesta, utilizamos el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Llamamos a los lados del triángulo \( a = 7 \, \text{cm} \), \( b = 24 \, \text{cm} \) y \( c = 25 \, \text{cm} \) (donde \( c \) es la hipotenusa). Según el teorema de Pitágoras, debemos verificar la siguiente igualdad: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Calculamos: \[ 25^2 = 7^2 + 24^2 \] \[ 625 = 49 + 576 \] \[ 625 = 625 \] Como esta igualdad se cumple, concluimos que el triángulo con lados de 7 cm, 24 cm y 25 cm es un triángulo rectángulo.

Solución:
Respuesta: Sí, el número 84 es divisible por 2, 3 y 4. Justificación: - Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. En este caso, 84 termina en 4, que es par. Por lo tanto, 84 es divisible por 2. - Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. La suma de las cifras de 84 es \(8 + 4 = 12\). Como 12 es divisible por 3, entonces 84 también lo es. - Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si los dos últimos dígitos forman un número que es divisible por 4. Los dos últimos dígitos de 84 son 84, y como \(84 \div 4 = 21\) (un número entero), entonces 84 es divisible por 4. Por lo tanto, el número 84 es divisible por 2, 3 y 4.

Solución:
Respuesta: Sí, el número 48 es divisible entre 6. Explicación: Para determinar si un número es divisible entre otro, se puede comprobar si el resultado de la división es un número entero (es decir, sin decimales ni fracciones). En este caso, dividimos 48 entre 6: \[ \frac{48}{6} = 8 \] Como el resultado es un número entero (8), podemos concluir que 48 es divisible por 6. Además, podemos verificar la divisibilidad de 6 revisando dos condiciones: 1. El número debe ser par (48 es par). 2. La suma de sus dígitos debe ser divisible entre 3. La suma de los dígitos de 48 es \(4 + 8 = 12\), y como 12 es divisible entre 3, esto confirma que 48 es también divisible entre 6. Por lo tanto, 48 cumple con las condiciones de divisibilidad, confirmando que es divisible entre 6.

Solución:
Respuesta: Sí, el número 84 es divisible entre 2, 3 y 7. Justificación: 1. Divisibilidad entre 2: Un número es divisible entre 2 si su última cifra es par. En este caso, el último dígito de 84 es 4, que es par. Por lo tanto, 84 es divisible entre 2. 2. Divisibilidad entre 3: Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3. Para 84, sumamos sus cifras: \(8 + 4 = 12\). Como 12 es divisible entre 3 (ya que \(12 \div 3 = 4\)), entonces 84 también es divisible entre 3. 3. Divisibilidad entre 7: Un número es divisible entre 7 si al dividirlo entre 7 el resultado es un número entero. Al realizar la división \(84 \div 7 = 12\), obtenemos un número entero (12). Por lo tanto, 84 es divisible entre 7. Dado que 84 cumple con los criterios de divisibilidad para 2, 3 y 7, podemos concluir que es divisible entre estos números.

Solución:
Respuesta: Sí, el número 48 es divisible entre 6 y 8. Para comprobar la divisibilidad de 48 entre 6 y 8, realizamos las siguientes operaciones: 1. Divisibilidad entre 6: Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y 3. - Divisibilidad entre 2: El número 48 es par, por lo tanto es divisible entre 2. - Divisibilidad entre 3: Sumamos los dígitos de 48: \(4 + 8 = 12\). Como 12 es divisible entre 3, entonces 48 también lo es. - Conclusión: 48 es divisible entre 6. 2. Divisibilidad entre 8: Un número es divisible entre 8 si los últimos tres dígitos (en este caso solo hay dos) forman un número que es divisible entre 8. - Dividimos 48 entre 8: \(48 \div 8 = 6\), que es un número entero. - Conclusión: 48 es divisible entre 8. Por lo tanto, 48 es divisible tanto entre 6 como entre 8.