La divisibilidad es un concepto fundamental en el estudio de las matemáticas, especialmente en el nivel de 2º de ESO. Entender cómo funcionan los números y las reglas que determinan si un número es divisible por otro es crucial para resolver problemas más complejos y para el desarrollo del pensamiento lógico. En esta sección de ResueltosOnline.com, te proporcionamos una variedad de ejercicios prácticos y problemas resueltos, que te ayudarán a dominar este importante tema de manera efectiva.
Ejercicios y problemas resueltos
A continuación, encontrarás una serie de ejercicios y problemas relacionados con la divisibilidad, acompañados de sus respectivas soluciones. Estos recursos están diseñados para facilitar tu aprendizaje y ayudarte a practicar de manera efectiva, asegurando que comprendas cada concepto en profundidad.
Ejercicio 1:Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. ¿Es el número 432 divisible por 3? Justifica tu respuesta calculando la suma de sus dígitos.
Solución: Respuesta: Sí, el número 432 es divisible por 3.
Para justificarlo, calculamos la suma de sus dígitos:
\[
4 + 3 + 2 = 9
\]
Ahora verificamos si 9 es divisible por 3. Como \(9 \div 3 = 3\) y 3 es un número entero, concluimos que 9 es divisible por 3. Por lo tanto, el número 432 también es divisible por 3.
Ejercicio 2:¿Es el número 144 divisible por 3? Justifica tu respuesta utilizando la regla de divisibilidad para el 3.
Solución: Respuesta: Sí, el número 144 es divisible por 3.
Para justificarlo, utilizamos la regla de divisibilidad para el 3, que establece que un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras también es divisible por 3.
En el caso del número 144, sumamos sus cifras:
\[
1 + 4 + 4 = 9
\]
Ahora verificamos si 9 es divisible por 3. Dado que \(9 \div 3 = 3\) (un número entero), concluimos que 9 es divisible por 3. Por lo tanto, el número 144 también es divisible por 3.
Ejercicio 3:Determina si el número 256 es divisible por 4. Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: Sí, el número 256 es divisible por 4.
Justificación: Para determinar si un número es divisible por 4, basta con observar los dos últimos dígitos del número. En este caso, los dos últimos dígitos de 256 son 56.
Ahora, verificamos si 56 es divisible por 4:
\[
56 \div 4 = 14
\]
Como el resultado es un número entero, concluimos que 56 es divisible por 4. Por lo tanto, 256 también es divisible por 4.
Ejercicio 4:¿Es el número 144 divisible por 2, 3 y 4? Justifica tu respuesta explicando cómo determinaste la divisibilidad de cada uno de estos números.
Solución: Respuesta: Sí, el número 144 es divisible por 2, 3 y 4.
Justificación:
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par. El último dígito de 144 es 4, que es par. Por lo tanto, 144 es divisible por 2.
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. La suma de las cifras de 144 es \(1 + 4 + 4 = 9\). Dado que 9 es divisible por 3, podemos concluir que 144 es divisible por 3.
3. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si los dos últimos dígitos forman un número que es divisible por 4. Los dos últimos dígitos de 144 son 44. Al dividir 44 entre 4, obtenemos \(44 \div 4 = 11\), que es un número entero. Por lo tanto, 144 es divisible por 4.
Así, hemos verificado que 144 es divisible por 2, 3 y 4.
Ejercicio 5:Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. ¿Es el número 123456 divisible por 3? Justifica tu respuesta sumando los dígitos y comprobando si el resultado es divisible por 3.
Solución: Respuesta: Sí, el número 123456 es divisible por 3.
Para justificarlo, sumamos los dígitos del número 123456:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
\]
Ahora, comprobamos si la suma, que es 21, es divisible por 3:
\[
21 \div 3 = 7
\]
Como 7 es un número entero, podemos concluir que 21 es divisible por 3.
Por lo tanto, el número 123456 es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos también lo es.
Ejercicio 6:¿Es el número 128 divisible entre 4? Justifica tu respuesta utilizando la regla de divisibilidad para el 4.
Solución: Respuesta: Sí, el número 128 es divisible entre 4.
Explicación: Para determinar si un número es divisible entre 4, podemos utilizar la regla de divisibilidad para el 4, que establece que un número es divisible entre 4 si los dos últimos dígitos del número forman un número que también es divisible entre 4.
En este caso, los dos últimos dígitos de 128 son 28. Ahora, verificamos si 28 es divisible entre 4:
\[
28 \div 4 = 7
\]
Como el resultado es un número entero (7), concluimos que 28 es divisible entre 4. Por lo tanto, como 28 es divisible entre 4, también podemos afirmar que 128 es divisible entre 4.
Ejercicio 7:Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. ¿Es el número 123456 divisible por 3? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: Sí, el número 123456 es divisible por 3.
Para justificarlo, sumamos las cifras del número 123456:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
\]
Luego, verificamos si la suma, que es 21, es divisible por 3. Como \(21 \div 3 = 7\) (sin residuo), concluimos que 21 es divisible por 3. Por lo tanto, el número 123456 también es divisible por 3.
Ejercicio 8:Determina si el número \( N = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \) es divisible por \( 1800 \). Justifica tu respuesta descomponiendo ambos números en factores primos y analizando las potencias de cada factor. ¿Cuáles son los factores primos de \( 1800 \) y qué condiciones deben cumplirse para que \( N \) sea divisible por \( 1800 \)?
Solución: Respuesta: Sí, el número \( N = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \) es divisible por \( 1800 \).
Para justificar esta respuesta, primero descomponemos \( 1800 \) en factores primos.
1. Descomposición de \( 1800 \):
\[
1800 = 18 \cdot 100 = (2 \cdot 3^2) \cdot (10^2) = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2
\]
2. Ahora, analizamos las potencias de cada factor en \( N \):
- \( N = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \)
3. Para que \( N \) sea divisible por \( 1800 \), necesitamos verificar que las potencias de los factores primos en \( N \) son al menos las de \( 1800 \):
- Potencia de \( 2 \): \( 10 \) (en \( N \)) es mayor que \( 3 \) (en \( 1800 \)).
- Potencia de \( 3 \): \( 5 \) (en \( N \)) es mayor que \( 2 \) (en \( 1800 \)).
- Potencia de \( 5 \): \( 2 \) (en \( N \)) es igual a \( 2 \) (en \( 1800 \)).
Dado que todas las condiciones se cumplen, podemos concluir que \( N \) es divisible por \( 1800 \).
Ejercicio 9:Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. Dado el número \( 45678 \), ¿es divisible por 2? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: Sí, el número \( 45678 \) es divisible por 2.
Explicación: Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. En este caso, la última cifra de \( 45678 \) es \( 8 \), que es un número par. Por lo tanto, \( 45678 \) es divisible por 2.
Ejercicio 10:Determina si el número \( 384 \) es divisible por \( 6 \). Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: Sí, el número \( 384 \) es divisible por \( 6 \).
Para que un número sea divisible por \( 6 \), debe ser divisible por \( 2 \) y por \( 3 \).
1. Divisibilidad por \( 2 \): Un número es divisible por \( 2 \) si su última cifra es par. En este caso, la última cifra de \( 384 \) es \( 4 \), que es par. Por lo tanto, \( 384 \) es divisible por \( 2 \).
2. Divisibilidad por \( 3 \): Un número es divisible por \( 3 \) si la suma de sus cifras es divisible por \( 3 \). Las cifras de \( 384 \) son \( 3 \), \( 8 \) y \( 4 \). Sumamos estas cifras:
\[
3 + 8 + 4 = 15
\]
Ahora verificamos si \( 15 \) es divisible por \( 3 \). Como \( 15 \div 3 = 5 \) (sin residuo), podemos concluir que \( 15 \) es divisible por \( 3 \).
Dado que \( 384 \) es divisible por \( 2 \) y por \( 3 \), podemos afirmar que \( 384 \) es divisible por \( 6 \).
Ejercicio 11:Determina si el número \( 456 \) es divisible entre \( 2 \) y \( 3 \). Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: Sí, el número \( 456 \) es divisible entre \( 2 \) y \( 3 \).
Justificación:
Para determinar si un número es divisible entre \( 2 \), se verifica si su última cifra es par. En este caso, el último dígito de \( 456 \) es \( 6 \), que es par, por lo tanto, \( 456 \) es divisible entre \( 2 \).
Para verificar si \( 456 \) es divisible entre \( 3 \), se suma sus cifras: \( 4 + 5 + 6 = 15 \). Como \( 15 \) es divisible entre \( 3 \) (porque \( 15 \div 3 = 5 \) sin residuo), entonces \( 456 \) también es divisible entre \( 3 \).
Por lo tanto, \( 456 \) es divisible entre \( 2 \) y \( 3 \).
Ejercicio 12:¿Es el número \( 144 \) divisible por \( 12 \)? Justifica tu respuesta mostrando los pasos que utilizaste para determinar la divisibilidad.
Solución: Respuesta: Sí, el número \( 144 \) es divisible por \( 12 \).
Para justificar esta respuesta, podemos seguir los siguientes pasos:
1. Definición de divisibilidad: Un número \( a \) es divisible por \( b \) si al dividir \( a \) entre \( b \), el residuo es cero. Es decir, \( a \mod b = 0 \).
2. Realizamos la división: Calculamos \( 144 \div 12 \).
\[
144 \div 12 = 12
\]
El resultado es \( 12 \), que es un número entero.
3. Verificamos el residuo: Para confirmar la divisibilidad, podemos también calcular el residuo:
\[
144 \mod 12 = 0
\]
Como el residuo es \( 0 \), esto confirma que \( 144 \) es divisible por \( 12 \).
Por lo tanto, podemos concluir que \( 144 \) es efectivamente divisible por \( 12 \).
Ejercicio 13:¿Es el número \( 144 \) divisible por \( 12 \)? Justifica tu respuesta utilizando la regla de divisibilidad correspondiente.
Solución: Respuesta: Sí, el número \( 144 \) es divisible por \( 12 \).
Para justificar esta respuesta, utilizaremos la regla de divisibilidad para el número \( 12 \). Un número es divisible por \( 12 \) si es divisible por \( 3 \) y por \( 4 \).
1. Divisibilidad por \( 3 \): Un número es divisible por \( 3 \) si la suma de sus cifras es divisible por \( 3 \). En el caso de \( 144 \):
\[
1 + 4 + 4 = 9
\]
Como \( 9 \) es divisible por \( 3 \), entonces \( 144 \) también lo es.
2. Divisibilidad por \( 4 \): Un número es divisible por \( 4 \) si los dos últimos dígitos forman un número que es divisible por \( 4 \). En \( 144 \), los dos últimos dígitos son \( 44 \):
\[
44 \div 4 = 11
\]
Como el resultado es un número entero, \( 44 \) es divisible por \( 4 \), por lo que \( 144 \) también lo es.
Dado que \( 144 \) es divisible tanto por \( 3 \) como por \( 4 \), concluimos que \( 144 \) es divisible por \( 12 \).
Ejercicio 14:¿Es el número \( 144 \) divisible por \( 12 \)? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: Sí, el número \( 144 \) es divisible por \( 12 \).
Justificación: Para determinar si \( 144 \) es divisible por \( 12 \), podemos realizar la división \( 144 \div 12 \). Si el resultado es un número entero, entonces \( 144 \) es divisible por \( 12 \).
Calculamos:
\[
144 \div 12 = 12
\]
El resultado es \( 12 \), que es un número entero. Por lo tanto, \( 144 \) es divisible por \( 12 \). Además, podemos verificarlo multiplicando:
\[
12 \times 12 = 144
\]
Esto confirma que \( 144 \) se puede expresar como el producto de \( 12 \) y un número entero (\( 12 \)).
Ejercicio 15:¿Es el número \( 144 \) divisible por \( 12 \)? Justifica tu respuesta explicando el proceso que utilizaste para determinarlo.
Solución: Respuesta: Sí, el número \( 144 \) es divisible por \( 12 \).
Para determinar si \( 144 \) es divisible por \( 12 \), podemos realizar la división:
\[
\frac{144}{12} = 12
\]
El resultado es un número entero (12), lo que significa que \( 144 \) se puede dividir por \( 12 \) sin dejar residuo. Por lo tanto, concluimos que \( 144 \) es divisible por \( 12 \).
Otra forma de verificar la divisibilidad es comprobar si \( 144 \) cumple con las reglas de divisibilidad de \( 12 \). Para que un número sea divisible por \( 12 \), debe ser divisible por \( 3 \) y \( 4 \):
1. Divisibilidad por \( 3 \): La suma de los dígitos de \( 144 \) es \( 1 + 4 + 4 = 9 \), que es divisible por \( 3 \).
2. Divisibilidad por \( 4 \): Los dos últimos dígitos de \( 144 \) son \( 44 \), y \( 44 \div 4 = 11 \), que es un número entero.
Dado que \( 144 \) es divisible por \( 3 \) y \( 4 \), se confirma que también es divisible por \( 12 \).
Ejercicio 16:¿Es el número \( 144 \) divisible entre \( 12 \)? Justifica tu respuesta mostrando el cálculo correspondiente.
Solución: Respuesta: Sí, el número \( 144 \) es divisible entre \( 12 \).
Para justificar esta respuesta, realizamos la división de \( 144 \) entre \( 12 \):
\[
144 \div 12 = 12
\]
Como el resultado de la división es un número entero (en este caso, \( 12 \)), podemos concluir que \( 144 \) es divisible entre \( 12 \). Además, no hay residuo en esta operación, lo que confirma la divisibilidad.
Ejercicio 17:Un número entero \( n \) es divisible por 12 si y solo si es divisible por 3 y por 4. Considera el número \( n = 4320 \).
1. Verifica si \( n \) es divisible por 3 y por 4.
2. Determina cuántos números enteros entre 1 y 100 son divisibles por \( n \).
3. Justifica si el siguiente enunciado es verdadero o falso: "Si un número es divisible por 12, también es divisible por 36".
Solución: Respuesta:
1. Para verificar si \( n = 4320 \) es divisible por 3, sumamos sus dígitos: \( 4 + 3 + 2 + 0 = 9 \). Como 9 es divisible por 3, entonces \( 4320 \) es divisible por 3.
Para verificar si \( n = 4320 \) es divisible por 4, comprobamos los últimos dos dígitos: \( 20 \) es divisible por 4. Por lo tanto, \( 4320 \) es divisible por 4.
Conclusión: \( 4320 \) es divisible por 3 y por 4.
2. Para determinar cuántos números enteros entre 1 y 100 son divisibles por \( n = 4320 \), notamos que el único múltiplo de \( 4320 \) que está en el rango de 1 a 100 es \( 0 \). Por lo tanto, no hay números enteros entre 1 y 100 que sean divisibles por \( 4320 \).
Conclusión: Hay 0 números enteros entre 1 y 100 que son divisibles por \( 4320 \).
3. El enunciado "Si un número es divisible por 12, también es divisible por 36" es falso. Esto se debe a que 36 es un múltiplo de 12, pero no todos los múltiplos de 12 son múltiplos de 36. Por ejemplo, \( 12 \) es divisible por \( 12 \) pero no por \( 36 \).
Conclusión: El enunciado es falso.
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Si necesitas que se presente la solución de otra manera o que se amplíe alguna parte, házmelo saber.
Ejercicio 18:Un número entero \( n \) es divisible por \( 12 \) si es divisible por \( 3 \) y por \( 4 \). Si el número \( n \) se puede expresar como \( n = 2k + 1 \), donde \( k \) es un número entero, ¿es posible que \( n \) sea divisible por \( 12 \)? Justifica tu respuesta analizando las condiciones de divisibilidad por \( 3 \) y \( 4 \).
Solución: Respuesta: No, no es posible que \( n \) sea divisible por \( 12 \).
Explicación: Un número \( n \) que se puede expresar como \( n = 2k + 1 \) es un número impar, ya que la forma \( 2k \) es par y al sumar \( 1 \) se obtiene un número impar.
Para que \( n \) sea divisible por \( 12 \), debe ser divisible por \( 4 \) y \( 3 \).
1. Divisibilidad por \( 4 \): Un número impar no puede ser divisible por \( 4 \), ya que los múltiplos de \( 4 \) son siempre números pares.
2. Divisibilidad por \( 3 \): Aunque un número impar puede ser divisible por \( 3 \), esto no es suficiente, ya que también debe cumplir la condición de divisibilidad por \( 4 \).
Dado que un número impar no puede ser divisible por \( 4 \), concluimos que \( n \) no puede ser divisible por \( 12 \).
Ejercicio 19:Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. Juan tiene un número de 4 cifras, donde la cifra de las unidades es 5. Si la suma de las otras tres cifras es 10, ¿es el número de Juan divisible por 3? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: No, el número de Juan no es divisible por 3.
Explicación: Juan tiene un número de 4 cifras donde la cifra de las unidades es 5. La suma de las otras tres cifras es 10. Por lo tanto, la suma total de las cifras del número es:
\[
10 + 5 = 15
\]
Ahora, para determinar si el número es divisible por 3, verificamos si la suma de sus cifras (15) es divisible por 3. Como \(15 \div 3 = 5\), concluimos que 15 es divisible por 3.
Por lo tanto, el número de Juan sí es divisible por 3.
Ejercicio 20:Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. Considera el número \( n = 2x5y \), donde \( x \) y \( y \) son cifras desconocidas. Si sabemos que \( n \) es divisible por 3, ¿cuáles son los posibles valores de \( x \) y \( y \) que hacen que \( n \) cumpla esta propiedad? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: Los posibles valores de \( x \) y \( y \) que hacen que \( n = 2x5y \) sea divisible por 3 son:
- \( x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \)
- \( y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \)
Siempre que \( x + y \) sea un múltiplo de 3.
Explicación: Para que el número \( n = 2x5y \) sea divisible por 3, debemos verificar si la suma de sus cifras es divisible por 3. La suma de las cifras es \( 2 + x + 5 + y = 7 + x + y \). Entonces, necesitamos que \( 7 + x + y \) sea divisible por 3.
Calculamos \( 7 \mod 3 \):
\[
7 \mod 3 = 1
\]
Por lo tanto, \( 7 + x + y \equiv 0 \mod 3 \) implica que \( x + y \equiv 2 \mod 3 \).
Los valores de \( x \) y \( y \) deben sumarse de tal manera que su suma sea congruente a 2 módulo 3. Esto significa que las combinaciones de \( x \) y \( y \) que satisfacen esta condición son las que se deben considerar.
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La divisibilidad es un concepto fundamental en matemáticas que nos ayuda a entender cómo se relacionan los números entre sí. A continuación, se presenta un breve resumen del temario que hemos trabajado, junto con aspectos clave que te ayudarán a resolver los ejercicios de esta sección.
Temario de Divisibilidad
Definición de divisibilidad
Criterios de divisibilidad
2, 3, 5, 10
4, 6, 8, 9
Divisibilidad por 11 y otros números
Multiplicidad y múltiplos
Divisores y múltiplos comunes
Máximo común divisor (MCD)
Mínimo común múltiplo (MCM)
Recordatorio de la Teoría
Un número a se dice que es divisible por otro número b si al dividir a entre b, el resultado es un número entero, es decir, no hay residuo. Esto se puede expresar matemáticamente como:
Si b divide a a, lo denotamos como b | a.
Existen criterios de divisibilidad que nos permiten determinar rápidamente si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Por ejemplo:
Un número es divisible por 2 si su última cifra es par.
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5.
Es importante recordar la diferencia entre un divisor y un múltiplo:
Un divisor de un número a es cualquier número b que divide a a sin dejar residuo.
Un múltiplo de un número b es cualquier número que se puede expresar como b × n, donde n es un número entero.
Además, el máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número que puede dividirlos sin dejar residuo, mientras que el mínimo común múltiplo (MCM) es el menor número que es un múltiplo común de esos números.
Si en algún momento tienes dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡La práctica es clave para dominar la divisibilidad!
