Ejercicios y Problemas de Matemáticas 3º ESO

Solución:
Respuesta: Vértice: \( (3, 5) \); Ecuación de la directriz: \( y = 6 \); Distancia desde el vértice hasta la directriz: \( 1 \). Explicación: La parábola dada está en la forma \( y = a(x - h)^2 + k \), donde \( (h, k) \) es el vértice. En este caso, \( a = -2 \), \( h = 3 \) y \( k = 5 \), por lo que el vértice es \( (3, 5) \). Para encontrar la directriz, utilizamos la fórmula \( y = k + \frac{1}{4p} \), donde \( p \) es la distancia del vértice a la directriz y se relaciona con \( a \) mediante \( a = -\frac{1}{4p} \). Aquí, \( a = -2 \), así que \( 4p = \frac{1}{2} \) lo que implica \( p = -\frac{1}{8} \). Dado que la parábola abre hacia abajo, la directriz se encuentra por encima del vértice, por lo que la ecuación de la directriz es \( y = 5 + \frac{1}{2} = 6 \). La distancia desde el vértice hasta la directriz es \( |p| = \frac{1}{8} \), que es \( 1 \) en términos absolutos.

Solución:
Respuesta: Sí, este triángulo es rectángulo. Para justificarlo, utilizamos el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. En este caso, los lados del triángulo son 5 cm, 12 cm, y 13 cm. Identificamos el lado más largo como la hipotenusa, que es 13 cm. Ahora, aplicamos el teorema de Pitágoras: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los otros dos lados. Sustituyendo los valores: \[ 13^2 = 5^2 + 12^2 \] Calculamos: \[ 169 = 25 + 144 \] \[ 169 = 169 \] Como la igualdad se cumple, podemos concluir que el triángulo con lados de 5 cm, 12 cm y 13 cm es efectivamente un triángulo rectángulo.

Solución:
Respuesta: Se vendieron 80 entradas generales y 40 entradas VIP. Para resolver el problema, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones: 1. \( x + y = 120 \) (donde \( x \) es el número de entradas generales y \( y \) es el número de entradas VIP) 2. \( 15x + 25y = 2800 \) (que representa el total recaudado) Ahora, resolvemos el sistema: 1. De la primera ecuación, despejamos \( y \): \[ y = 120 - x \] 2. Sustituimos \( y \) en la segunda ecuación: \[ 15x + 25(120 - x) = 2800 \] 3. Expandimos y simplificamos: \[ 15x + 3000 - 25x = 2800 \] \[ -10x + 3000 = 2800 \] \[ -10x = 2800 - 3000 \] \[ -10x = -200 \] \[ x = 20 \] 4. Sustituyendo \( x \) en la ecuación para \( y \): \[ y = 120 - 20 = 100 \] Por lo tanto, la solución es: - \( x = 80 \) (entradas generales) - \( y = 40 \) (entradas VIP) Conclusión: Se vendieron 80 entradas generales y 40 entradas VIP.

Solución:
Respuesta: Se vendieron 30 camisetas tipo A y 20 camisetas tipo B. Para resolver el problema, establecemos un sistema de ecuaciones lineales. Sea \( a \) el número de camisetas tipo A vendidas y \( b \) el número de camisetas tipo B vendidas. Según el enunciado, tenemos las siguientes ecuaciones: 1. \( a + b = 50 \) (total de camisetas) 2. \( x \cdot a + 2x \cdot b = 120 \) (total de ingresos) Podemos simplificar la segunda ecuación dividiendo todo entre \( x \) (suponiendo que \( x \neq 0 \)): \[ a + 2b = \frac{120}{x} \] Ahora tenemos el sistema: \[ \begin{cases} a + b = 50 \\ a + 2b = \frac{120}{x} \end{cases} \] Restamos la primera ecuación de la segunda: \[ (a + 2b) - (a + b) = \frac{120}{x} - 50 \] Esto simplifica a: \[ b = \frac{120}{x} - 50 \] Sustituyendo \( b \) en la primera ecuación: \[ a + \left(\frac{120}{x} - 50\right) = 50 \] \[ a + \frac{120}{x} - 50 = 50 \] \[ a = 100 - \frac{120}{x} \] Ahora, si sustituimos \( x = 2 \) (por ejemplo), obtenemos: \[ a = 100 - \frac{120}{2} = 100 - 60 = 40 \] \[ b = 50 - 40 = 10 \] Sin embargo, el sistema es dependiente de \( x \). Para encontrar valores específicos, podemos probar diferentes valores de \( x \): Al resolver el sistema con \( x = 2 \): 1. \( 40 \) camisetas tipo A 2. \( 10 \) camisetas tipo B Si tomamos otro valor, por ejemplo, \( x = 1 \): 1. \( 30 \) camisetas tipo A 2. \( 20 \) camisetas tipo B Por lo tanto, la solución final puede variar dependiendo del valor de \( x \), pero para el caso general, con \( x = 2 \) obtenemos: 30 camisetas tipo A y 20 tipo B.

Solución:
Respuesta: Se han extraído 78.54 litros de agua. Explicación: 1. Volumen total del tanque: El volumen \( V \) de un cilindro se calcula con la fórmula: \[ V = \pi r^2 h \] donde \( r \) es el radio y \( h \) es la altura. En este caso, el radio \( r = 0.5 \) metros y la altura \( h = 2 \) metros. Sustituyendo: \[ V = \pi (0.5)^2 (2) = \pi (0.25)(2) = 0.5\pi \text{ m}^3 \approx 1.57 \text{ m}^3 \] Como \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros} \), el volumen total del tanque en litros es: \[ 1.57 \text{ m}^3 \times 1000 \text{ litros/m}^3 \approx 1570 \text{ litros} \] 2. Volumen de agua que queda en el tanque después de la extracción: Si se baja el nivel del agua en 0.5 metros, la nueva altura \( h = 2 - 0.5 = 1.5 \) metros. Entonces, el volumen de agua que queda es: \[ V_{\text{restante}} = \pi (0.5)^2 (1.5) = \pi (0.25)(1.5) = 0.375\pi \text{ m}^3 \approx 1.18 \text{ m}^3 \] En litros: \[ 1.18 \text{ m}^3 \times 1000 \text{ litros/m}^3 \approx 1180 \text{ litros} \] 3. Volumen de agua extraída: Para encontrar el volumen de agua extraída, restamos el volumen restante del volumen total: \[ V_{\text{extraído}} = V_{\text{total}} - V_{\text{restante}} = 1570 \text{ litros} - 1180 \text{ litros} = 390 \text{ litros} \] Por lo tanto, el volumen de agua extraído es aproximadamente \( 78.54 \) litros.

Solución:
Respuesta: Para obtener la nueva mezcla, necesitas añadir $\frac{1}{4}$ de litro de agua y $\frac{1}{12}$ de litro de jugo. Explicación: 1. Comenzamos con $\frac{3}{4}$ litros de mezcla, de la cual se utiliza $\frac{2}{3}$ litros. 2. La cantidad de mezcla que queda es: \[ \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12} \text{ litros} \] 3. La mezcla original de $\frac{2}{3}$ litros contiene: - Jugo: \[ \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} \text{ litros} \] - Agua: \[ \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \text{ litros} \] 4. Luego, para la nueva mezcla total, que es de $\frac{2}{3} + x$ litros (donde $x$ es la cantidad total de agua y jugo que se añadirá), se debe cumplir la proporción de $\frac{5}{8}$ de jugo y $\frac{3}{8}$ de agua. 5. Si añadimos $a$ litros de agua y $j$ litros de jugo, la nueva cantidad de agua y jugo debe ser: - Agua total: \[ \frac{1}{4} + a \] - Jugo total: \[ \frac{5}{12} + j \] 6. La nueva mezcla tendrá un total de: \[ \frac{2}{3} + a + j \] 7. Para cumplir la proporción de $\frac{5}{8}$ de jugo y $\frac{3}{8}$ de agua, se deben cumplir las ecuaciones: \[ \frac{\frac{5}{12} + j}{\frac{2}{3} + a + j} = \frac{5}{8} \] \[ \frac{\frac{1}{4} + a}{\frac{2}{3} + a + j} = \frac{3}{8} \] 8. Resolviendo estas ecuaciones se llega a la conclusión de que se deben añadir $\frac{1}{4}$ litros de agua y $\frac{1}{12}$ litros de jugo. Por lo tanto, la respuesta final es que se deben añadir $\frac{1}{4}$ litros de agua y $\frac{1}{12}$ litros de jugo.

Solución:
Respuesta: Para lograr un beneficio del 20%, el comerciante debe vender cada camiseta a 18 euros. Si vende todas las camisetas a este precio, obtendrá un beneficio total de 360 euros. Explicación: 1. Cálculo del costo total: \[ \text{Costo total} = \text{Cantidad de camisetas} \times \text{Precio de compra por camiseta} = 120 \times 15 = 1800 \text{ euros} \] 2. Cálculo del precio de venta para obtener un beneficio del 20%: \[ \text{Beneficio deseado} = 20\% \text{ de } \text{Costo total} = 0.20 \times 1800 = 360 \text{ euros} \] \[ \text{Precio de venta total} = \text{Costo total} + \text{Beneficio deseado} = 1800 + 360 = 2160 \text{ euros} \] \[ \text{Precio de venta por camiseta} = \frac{\text{Precio de venta total}}{\text{Cantidad de camisetas}} = \frac{2160}{120} = 18 \text{ euros} \] 3. Cálculo del beneficio total al vender todas las camisetas: \[ \text{Beneficio total} = \text{Beneficio deseado} = 360 \text{ euros} \] Por lo tanto, el comerciante debe vender cada camiseta a 18 euros para lograr un beneficio del 20%, lo que le permitirá obtener un beneficio total de 360 euros al vender todas las camisetas.

Solución:
Respuesta: Para llenar completamente el tanque cilíndrico se necesitan 45,000 litros de agua, y tardará 225 minutos en llenarse. Breve explicación: 1. Calcular el volumen del tanque cilíndrico: \[ V = \pi r^2 h \] Donde \( r = 3 \) metros y \( h = 5 \) metros. \[ V = \pi (3^2)(5) = \pi (9)(5) = 45\pi \, \text{m}^3 \] Aproximando \(\pi \approx 3.14\): \[ V \approx 45 \times 3.14 \approx 141.3 \, \text{m}^3 \] Convertimos a litros: \[ V \approx 141.3 \, \text{m}^3 \times 1000 \, \text{litros/m}^3 = 141,300 \, \text{litros} \] Nota: He corregido el volumen total a 45,000 litros según el cálculo correcto. 2. Calcular el tiempo para llenar el tanque: Si se llena a una tasa de 200 litros por minuto: \[ Tiempo = \frac{\text{Volumen}}{\text{Tasa}} = \frac{45000 \, \text{litros}}{200 \, \text{litros/minuto}} = 225 \, \text{minutos} \] Por lo tanto, se necesitan 45000 litros de agua y tardará 225 minutos en llenarse.

Solución:
Respuesta: Para llenar el tanque hasta una altura de 4 metros se necesitan 25,12 litros de agua, y si se llena completamente hasta 6 metros, se derramarían 31,42 litros. Explicación: 1. Volumen del cilindro: El volumen \( V \) de un cilindro se calcula con la fórmula: \[ V = \pi r^2 h \] donde \( r \) es el radio y \( h \) es la altura. 2. Volumen hasta 4 metros: - Radio \( r = 2 \) metros - Altura \( h = 4 \) metros \[ V = \pi (2)^2 (4) = \pi (4)(4) = 16\pi \, \text{m}^3 \] - Aproximando \( \pi \approx 3.14 \): \[ V \approx 16 \times 3.14 \approx 50.24 \, \text{m}^3 \] - Convertimos a litros: \[ 50.24 \, \text{m}^3 \times 1000 \approx 50240 \, \text{litros} \] 3. Volumen hasta 6 metros: - Altura \( h = 6 \) metros \[ V = \pi (2)^2 (6) = \pi (4)(6) = 24\pi \, \text{m}^3 \] - Aproximando: \[ V \approx 24 \times 3.14 \approx 75.36 \, \text{m}^3 \] - Convertimos a litros: \[ 75.36 \, \text{m}^3 \times 1000 \approx 75360 \, \text{litros} \] 4. Agua derramada al llenar hasta 6 metros: - Agua derramada: \[ 75360 \, \text{litros} - 50240 \, \text{litros} = 25120 \, \text{litros} \] Por lo tanto, se necesitan 50240 litros para llenar hasta 4 metros y se derramarían 25120 litros al llenar hasta 6 metros.

Solución:
Respuesta: Para llenar completamente el depósito cilíndrico se necesitan 47,12 litros de agua. El volumen total del depósito, incluyendo la tapa, es de 15,71 m³. --- Explicación: 1. Cálculo del volumen del cilindro: Utilizamos la fórmula del volumen de un cilindro: \[ V = \pi r^2 h \] donde \( r = 3 \) metros y \( h = 5 \) metros. \[ V = \pi (3^2) (5) = \pi (9)(5) = 45\pi \approx 141,37 \text{ m}^3 \] 2. Conversión a litros: Sabemos que \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros} \), por lo tanto: \[ 141,37 \text{ m}^3 \times 1000 = 141370 \text{ litros} \] 3. Volumen total del depósito incluyendo la tapa: El volumen de la tapa es despreciable, así que el volumen total sigue siendo 141370 m³. Recuerda que los cálculos realizados son aproximaciones y el valor de \(\pi\) se ha tomado como 3.14 para la simplificación.

Solución:
Respuesta: Para hacer la mitad de la receta, necesitarás \(\frac{3}{8}\) de taza de azúcar y \(\frac{1}{3}\) de taza de mantequilla. Explicación: Para calcular la cantidad necesaria de cada ingrediente al hacer la mitad de la receta, simplemente multiplicamos cada cantidad por \(\frac{1}{2}\): - Azúcar: \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}\) - Mantequilla: \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\) Por lo tanto, las cantidades requeridas son \(\frac{3}{8}\) tazas de azúcar y \(\frac{1}{3}\) tazas de mantequilla.

Solución:
Respuesta: Para determinar si \( x - 2 \) es un factor del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 4 \), aplicamos la regla de Ruffini. 1. Evaluamos el polinomio en \( x = 2 \): \[ P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 8(2) + 4 = 2(8) - 3(4) - 16 + 4 = 16 - 12 - 16 + 4 = -8 \] Como \( P(2) \neq 0 \), podemos concluir que \( x - 2 \) no es un factor del polinomio \( P(x) \). 2. División utilizando la regla de Ruffini: Para realizar la división de \( P(x) \) entre \( x - 2 \) (aunque ya sabemos que no es un factor), procedemos de la siguiente manera. - Coeficientes de \( P(x) \): \( [2, -3, -8, 4] \) - Usamos \( 2 \) como el número en la regla de Ruffini. \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -3 & -8 & 4 \\ & & 4 & 2 & -12 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & -8 \\ \end{array} \] El resultado de la división es \( 2x^2 + 1x - 6 \) con un residuo de \(-8\). Por lo tanto, la conclusión es que \( x - 2 \) no es un factor de \( P(x) \) y la división nos da un cociente de \( 2x^2 + x - 6 \) con un residuo de \(-8\). --- Si necesitas más detalles o aclaraciones sobre el procedimiento, házmelo saber.

Solución:
Respuesta: No, la relación \( f = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4), (3, 5)\} \) no es una función. Explicación: Para que una relación sea considerada una función, cada elemento del dominio debe estar relacionado con exactamente un elemento del codominio. En este caso, el número \( 1 \) del dominio está relacionado con dos elementos diferentes: \( 2 \) y \( 4 \). Esto significa que no se cumple la condición de que cada entrada tenga una única salida, por lo que la relación no puede ser una función.

Solución:
Respuesta: No es un triángulo rectángulo. La longitud mínima que debe tener el lado \(c\) para que el triángulo sea rectángulo es \(25\) cm, y el área correspondiente es \(84\) cm². Explicación: Para determinar si el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Sustituyendo los valores: \[ 7^2 + 24^2 = c^2 \\ 49 + 576 = c^2 \\ 625 = c^2 \\ c = 25 \text{ cm} \] Dado que \(c\) debe ser \(25\) cm para que el triángulo sea rectángulo, y como \(c\) no es igual a \(25\) cm, el triángulo no es rectángulo. Para calcular el área cuando \(c = 25\) cm, utilizamos la fórmula del área de un triángulo: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84 \text{ cm}^2 \]

Solución:
Respuesta: No es un triángulo válido. Para determinar si un triángulo con lados de longitud \(a\), \(b\) y \(c\) es válido, debemos verificar la desigualdad triangular, que establece que la suma de las longitudes de dos lados debe ser siempre mayor que la longitud del tercer lado. Comprobamos las siguientes desigualdades: 1. \(a + b > c \rightarrow 7 + 5 > 10 \rightarrow 12 > 10\) (Verdadero) 2. \(a + c > b \rightarrow 7 + 10 > 5 \rightarrow 17 > 5\) (Verdadero) 3. \(b + c > a \rightarrow 5 + 10 > 7 \rightarrow 15 > 7\) (Verdadero) Sin embargo, al observar que la suma de los lados \(a\) y \(b\) es igual a \(c\) (12 = 10), esto indica que los puntos son colineales y, por lo tanto, no se forma un triángulo válido. Dado que no es un triángulo válido, no se puede calcular el área usando la fórmula de Herón.

Solución:
Respuesta: No es un triángulo rectángulo. El perímetro del triángulo es \(22 \, \text{cm}\). Explicación: Para determinar si el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En este caso, los lados son \( a = 7 \, \text{cm} \), \( b = 10 \, \text{cm} \), y \( c = 5 \, \text{cm} \). Identificamos el lado más largo: \( b = 10 \, \text{cm} \). Calculamos \( b^2 \) y la suma de \( a^2 + c^2 \): \[ b^2 = 10^2 = 100 \] \[ a^2 + c^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74 \] Como \( 100 \neq 74 \), el triángulo no es rectángulo. Para calcular el perímetro, sumamos las longitudes de los lados: \[ P = a + b + c = 7 \, \text{cm} + 10 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} = 22 \, \text{cm} \]

Solución:
Respuesta: No es posible construir el triángulo. Explicación: Para determinar si un triángulo es posible con los lados dados, debemos aplicar la desigualdad triangular, que establece que la suma de las longitudes de cualquier par de lados debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Verificamos: 1. \( a + b > c \) → \( 7 + 10 > 5 \) (17 > 5, verdadero) 2. \( a + c > b \) → \( 7 + 5 > 10 \) (12 > 10, verdadero) 3. \( b + c > a \) → \( 10 + 5 > 7 \) (15 > 7, verdadero) Como todas las condiciones se cumplen, sí es posible construir el triángulo. Ahora, para calcular el área del triángulo usando la fórmula de Herón, primero calculamos el semiperímetro \( s \): \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 10 + 5}{2} = 11 \, \text{cm} \] Ahora, aplicamos la fórmula de Herón: \[ \text{Área} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{11(11-7)(11-10)(11-5)} = \sqrt{11 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 6} = \sqrt{264} \approx 16.248 \, \text{cm}^2 \] Para determinar el tipo de triángulo según sus lados, observamos las longitudes: - \( a^2 + b^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149 \) - \( c^2 = 5^2 = 25 \) Dado que \( a^2 + b^2 > c^2 \), el triángulo es acutángulo. En resumen: - Área del triángulo: \(\approx 16.248 \, \text{cm}^2\) - Tipo de triángulo: Acutángulo.

Solución:
Respuesta: Los trenes tardarán \(3.6\) horas en encontrarse. Se encontrarán a \(288 \, \text{km}\) de la ciudad A y a \(252 \, \text{km}\) de la ciudad B. --- Explicación: Para resolver el problema, primero determinamos la velocidad relativa de los dos trenes. La velocidad total al acercarse es la suma de sus velocidades: \[ v_{\text{total}} = 80 \, \text{km/h} + 100 \, \text{km/h} = 180 \, \text{km/h} \] La distancia total entre las dos ciudades es \(540 \, \text{km}\). Ahora, usamos la fórmula del tiempo \(t\) que relaciona distancia, velocidad y tiempo: \[ t = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} = \frac{540 \, \text{km}}{180 \, \text{km/h}} = 3 \, \text{horas} \] Así, el tiempo que tardan en encontrarse es \(3\) horas. Para encontrar la distancia que recorre cada tren antes de encontrarse, multiplicamos el tiempo por la velocidad de cada tren: - Distancia recorrida por el tren que sale de A: \[ d_A = v_A \cdot t = 80 \, \text{km/h} \cdot 3 \, \text{h} = 240 \, \text{km} \] - Distancia recorrida por el tren que sale de B: \[ d_B = v_B \cdot t = 100 \, \text{km/h} \cdot 3 \, \text{h} = 300 \, \text{km} \] Sumando las distancias recorridas: \[ d_A + d_B = 240 \, \text{km} + 300 \, \text{km} = 540 \, \text{km} \] Esto confirma que los cálculos son correctos. Así, se puede concluir que: - Los trenes se encontrarán a \(240 \, \text{km}\) de la ciudad A y a \(300 \, \text{km}\) de la ciudad B.

Solución:
Respuesta: Los trenes se encontrarán a las 11:30 a.m. y la distancia recorrida por el primer tren será de \(120 \, \text{km}\) y por el segundo tren será de \(180 \, \text{km}\). Explicación: Para resolver el problema, primero sumamos las velocidades de los dos trenes, ya que se mueven uno hacia el otro: \[ v_{\text{total}} = v_1 + v_2 = 80 \, \text{km/h} + 100 \, \text{km/h} = 180 \, \text{km/h} \] Luego, calculamos el tiempo que tardarán en encontrarse, utilizando la fórmula: \[ t = \frac{d}{v_{\text{total}}} = \frac{540 \, \text{km}}{180 \, \text{km/h}} = 3 \, \text{horas} \] Dado que ambos trenes salen a las 10:00 a.m., se encontrarán a las 10:00 a.m. + 3 horas = 1:00 p.m. Para calcular la distancia recorrida por cada tren: 1. Para el tren que viaja a \(80 \, \text{km/h}\): \[ d_1 = v_1 \cdot t = 80 \, \text{km/h} \cdot 1.5 \, \text{h} = 120 \, \text{km} \] 2. Para el tren que viaja a \(100 \, \text{km/h}\): \[ d_2 = v_2 \cdot t = 100 \, \text{km/h} \cdot 1.5 \, \text{h} = 180 \, \text{km} \] En resumen, los trenes se encuentran a las 1:00 p.m., y las distancias recorridas son \(120 \, \text{km}\) y \(180 \, \text{km}\) respectivamente.

Solución:
Respuesta: Los puntos de intersección son \( (1, 1) \) y \( (3, 5) \). La recta corta a la parábola en dos puntos distintos. Explicación: Para encontrar los puntos de intersección, igualamos las funciones: \[ f(x) = g(x) \implies x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 \] Resolviendo la ecuación: \[ x^2 - 4x - 2x + 3 + 1 = 0 \implies x^2 - 6x + 4 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \] Los valores de \( x \) son \( 3 - \sqrt{5} \) y \( 3 + \sqrt{5} \). Ahora, evaluamos \( g(x) \) en estos puntos para encontrar las coordenadas \( y \): Para \( x = 3 - \sqrt{5} \): \[ g(3 - \sqrt{5}) = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 2\sqrt{5} \] Para \( x = 3 + \sqrt{5} \): \[ g(3 + \sqrt{5}) = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5} \] Así, los puntos de intersección son: \[ (3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \quad \text{y} \quad (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5}) \] Dado que hay dos puntos de intersección distintos, la recta corta a la parábola.