Las parábolas son uno de los conceptos fundamentales en la geometría analítica y tienen aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas. En esta sección de ResueltosOnline.com, te ofrecemos una explicación detallada sobre cómo identificar, graficar y resolver problemas relacionados con las parábolas, facilitando tu comprensión y dominio del tema. Aquí encontrarás ejemplos prácticos y ejercicios que te ayudarán a consolidar tus conocimientos y a prepararte adecuadamente para tus evaluaciones.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección, hemos recopilado una variedad de ejercicios y problemas resueltos sobre parábolas, junto con sus correspondientes soluciones. Estos recursos están diseñados para que puedas aprender de forma efectiva y practicar a tu propio ritmo, asegurando que domines este importante tema de 3º ESO.
Ejercicio 1:Determina las coordenadas del vértice y la ecuación de la directriz de la parábola definida por la ecuación \(y = -2(x - 3)^2 + 5\). Además, calcula la distancia desde el vértice hasta la directriz.
Solución: Respuesta: Vértice: \( (3, 5) \); Ecuación de la directriz: \( y = 6 \); Distancia desde el vértice hasta la directriz: \( 1 \).
Explicación: La parábola dada está en la forma \( y = a(x - h)^2 + k \), donde \( (h, k) \) es el vértice. En este caso, \( a = -2 \), \( h = 3 \) y \( k = 5 \), por lo que el vértice es \( (3, 5) \).
Para encontrar la directriz, utilizamos la fórmula \( y = k + \frac{1}{4p} \), donde \( p \) es la distancia del vértice a la directriz y se relaciona con \( a \) mediante \( a = -\frac{1}{4p} \). Aquí, \( a = -2 \), así que \( 4p = \frac{1}{2} \) lo que implica \( p = -\frac{1}{8} \). Dado que la parábola abre hacia abajo, la directriz se encuentra por encima del vértice, por lo que la ecuación de la directriz es \( y = 5 + \frac{1}{2} = 6 \).
La distancia desde el vértice hasta la directriz es \( |p| = \frac{1}{8} \), que es \( 1 \) en términos absolutos.
Ejercicio 2:Encuentra los puntos de intersección entre la parábola definida por la función \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) y la recta \( g(x) = 2x - 1 \). Para ello, resuelve la ecuación \( f(x) = g(x) \). Una vez que hayas encontrado los puntos de intersección, determina si son puntos de tangencia o si la recta corta a la parábola en dos puntos distintos.
Solución: Respuesta: Los puntos de intersección son \( (1, 1) \) y \( (3, 5) \). La recta corta a la parábola en dos puntos distintos.
Explicación: Para encontrar los puntos de intersección, igualamos las funciones:
\[
f(x) = g(x) \implies x^2 - 4x + 3 = 2x - 1
\]
Resolviendo la ecuación:
\[
x^2 - 4x - 2x + 3 + 1 = 0 \implies x^2 - 6x + 4 = 0
\]
Usamos la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}
\]
Los valores de \( x \) son \( 3 - \sqrt{5} \) y \( 3 + \sqrt{5} \).
Ahora, evaluamos \( g(x) \) en estos puntos para encontrar las coordenadas \( y \):
Para \( x = 3 - \sqrt{5} \):
\[
g(3 - \sqrt{5}) = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 2\sqrt{5}
\]
Para \( x = 3 + \sqrt{5} \):
\[
g(3 + \sqrt{5}) = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5}
\]
Así, los puntos de intersección son:
\[
(3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \quad \text{y} \quad (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5})
\]
Dado que hay dos puntos de intersección distintos, la recta corta a la parábola.
Ejercicio 3:Encuentra las intersecciones de la parábola definida por la función \( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \) con el eje \( x \). Luego, determina si la parábola tiene un mínimo o un máximo y calcula el vértice de la misma.
Solución: Respuesta: Las intersecciones de la parábola con el eje \( x \) son \( x = 1 \) y \( x = 3 \). La parábola tiene un mínimo y su vértice es \( (2, -2) \).
Explicación:
1. Intersecciones con el eje \( x \): Para encontrar las intersecciones con el eje \( x \), igualamos la función a cero:
\[
2x^2 - 8x + 6 = 0
\]
Dividimos toda la ecuación entre 2:
\[
x^2 - 4x + 3 = 0
\]
Factorizamos:
\[
(x - 1)(x - 3) = 0
\]
Así, las soluciones son \( x = 1 \) y \( x = 3 \).
2. Máximo o mínimo: Dado que el coeficiente del término \( x^2 \) es positivo (\( 2 > 0 \)), la parábola tiene un mínimo.
3. Vértice: La coordenada \( x \) del vértice se calcula con la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \):
\[
x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2
\]
Para encontrar la coordenada \( y \) del vértice, sustituimos \( x = 2 \) en la función:
\[
f(2) = 2(2^2) - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (2, -2) \).
Ejercicio 4:Encuentra las intersecciones de la parábola definida por la función \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) con el eje \( x \). ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos donde la parábola cruza el eje \( x \)?
Solución: Respuesta: Las intersecciones de la parábola con el eje \( x \) son los puntos \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \).
Para encontrar las intersecciones de la parábola definida por la función \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) con el eje \( x \), debemos resolver la ecuación \( f(x) = 0 \):
\[
x^2 - 4x + 3 = 0
\]
Factoremos la ecuación:
\[
(x - 1)(x - 3) = 0
\]
Esto nos da las soluciones:
\[
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
\[
x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]
Por lo tanto, las intersecciones con el eje \( x \) son los puntos \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \).
Ejercicio 5:Determina las coordenadas del vértice de la parábola definida por la ecuación \(y = 2x^2 - 4x + 1\). ¿Es un mínimo o un máximo?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \((1, -1)\) y es un mínimo.
Explicación: La forma general de una parábola es \(y = ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes. Para encontrar las coordenadas del vértice \((h, k)\), utilizamos las fórmulas:
\[
h = -\frac{b}{2a} \quad \text{y} \quad k = f(h)
\]
En la ecuación \(y = 2x^2 - 4x + 1\), tenemos \(a = 2\) y \(b = -4\).
Calculamos \(h\):
\[
h = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
\]
Ahora, sustituimos \(h\) en la ecuación para encontrar \(k\):
\[
k = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
\]
Por lo tanto, el vértice es \((1, -1)\). Dado que \(a = 2 > 0\), la parábola tiene un mínimo en ese punto.
Ejercicio 6:Determina las coordenadas del vértice y la ecuación de la directriz de la parábola dada por la ecuación \( y = -2(x - 3)^2 + 5 \). Luego, calcula la intersección de esta parábola con la recta \( y = 1 \). ¿Cuántos puntos de intersección tiene y cuáles son sus coordenadas?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (3, 5) \) y la ecuación de la directriz es \( y = 4 \). La parábola intersecta la recta \( y = 1 \) en dos puntos: \( (2, 1) \) y \( (4, 1) \).
Explicación:
1. Vértice y directriz: La parábola está en la forma \( y = a(x - h)^2 + k \), donde \( (h, k) \) es el vértice. En este caso, \( h = 3 \), \( k = 5 \), así que el vértice es \( (3, 5) \). Dado que \( a = -2 \) (negativo), la parábola se abre hacia abajo. La directriz se encuentra usando la fórmula \( y = k + \frac{1}{4p} \), donde \( p = \frac{1}{|a|} \). Aquí, \( p = \frac{1}{2} \), por lo que la directriz es \( y = 5 - \frac{1}{2} = 4 \).
2. Intersección con la recta: Para encontrar la intersección con la recta \( y = 1 \), igualamos \( -2(x - 3)^2 + 5 = 1 \):
\[
-2(x - 3)^2 + 5 = 1 \implies -2(x - 3)^2 = -4 \implies (x - 3)^2 = 2
\]
Resolviendo la ecuación:
\[
x - 3 = \pm \sqrt{2} \implies x = 3 \pm \sqrt{2}
\]
Así que los puntos de intersección son \( (3 - \sqrt{2}, 1) \) y \( (3 + \sqrt{2}, 1) \). Por lo tanto, hay 2 puntos de intersección.
Ejercicio 7:Determina las coordenadas del vértice y la dirección de apertura de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \).
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( V(1, -1) \) y la dirección de apertura de la parábola es hacia arriba.
Explicación: Para encontrar el vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \), utilizamos la fórmula del vértice \( x_v = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 2 \) y \( b = -4 \). Calculamos:
\[
x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
\]
Luego, sustituimos \( x_v \) en \( f(x) \) para encontrar \( y_v \):
\[
f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
\]
Por lo tanto, el vértice es \( V(1, -1) \).
La dirección de apertura se determina por el coeficiente \( a \). Como \( a = 2 \) es positivo, la parábola se abre hacia arriba.
Ejercicio 8:Determina las coordenadas del vértice y la ecuación de la parábola que pasa por los puntos \( A(2, 3) \), \( B(4, 7) \), y \( C(6, 3) \). Además, calcula la intersección de esta parábola con la recta \( y = 5 \).
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( V(4, 7) \) y la ecuación de la parábola es \( y = -\frac{1}{4}(x - 4)^2 + 7 \). La intersección de la parábola con la recta \( y = 5 \) se da en los puntos \( (2, 5) \) y \( (6, 5) \).
---
Explicación:
1. Para encontrar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos \( A(2, 3) \), \( B(4, 7) \), y \( C(6, 3) \), asumimos que la parábola tiene forma \( y = a(x - h)^2 + k \), donde \( (h, k) \) es el vértice.
2. Observando los puntos, el punto \( B(4, 7) \) parece ser el vértice, así que \( h = 4 \) y \( k = 7 \). Así, la ecuación se reduce a \( y = a(x - 4)^2 + 7 \).
3. Usamos los puntos \( A(2, 3) \) y \( C(6, 3) \) para encontrar \( a \):
- Sustituyendo \( A(2, 3) \):
\[
3 = a(2 - 4)^2 + 7 \implies 3 = 4a + 7 \implies 4a = -4 \implies a = -1
\]
4. Entonces, la ecuación de la parábola es:
\[
y = -1(x - 4)^2 + 7 \quad \text{o simplificada:} \quad y = -\frac{1}{4}(x - 4)^2 + 7
\]
5. Para encontrar la intersección con la recta \( y = 5 \):
\[
5 = -1(x - 4)^2 + 7 \implies -1(x - 4)^2 = -2 \implies (x - 4)^2 = 2
\]
\[
x - 4 = \pm \sqrt{2} \implies x = 4 \pm \sqrt{2}
\]
Esto nos da los puntos de intersección:
\[
(2, 5) \quad \text{y} \quad (6, 5)
\]
Por lo tanto, se concluye que las coordenadas del vértice son \( V(4, 7) \), la ecuación de la parábola es \( y = -\frac{1}{4}(x - 4)^2 + 7 \), y los puntos de intersección con la recta \( y = 5 \) son \( (2, 5) \) y \( (6, 5) \).
Ejercicio 9:Determina las coordenadas del vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 3 \). Además, indica si la parábola tiene un valor mínimo o máximo.
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (2, -5) \) y la parábola tiene un valor mínimo.
Explicación: Para encontrar el vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \), utilizamos las fórmulas:
- La coordenada \( x \) del vértice se calcula como \( x_v = -\frac{b}{2a} \).
- La coordenada \( y \) del vértice se encuentra al sustituir \( x_v \) en la función \( f(x) \).
En este caso, \( a = 2 \) y \( b = -8 \):
\[
x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2
\]
Ahora sustituimos \( x_v \) en \( f(x) \):
\[
f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 3 = 2(4) - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (2, -5) \). Como \( a > 0 \), la parábola tiene un valor mínimo.
Ejercicio 10:Halla las coordenadas del vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \). Además, determina si la parábola tiene un mínimo o un máximo.
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (2, -7) \) y la parábola tiene un mínimo.
Explicación: Para hallar las coordenadas del vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \), utilizamos la fórmula del vértice \( x_v = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 2 \) y \( b = -8 \).
Calculamos:
\[
x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2
\]
Luego, sustituimos \( x_v \) en la función para encontrar \( y_v \):
\[
f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 2(4) - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (2, -3) \). Dado que \( a > 0 \), la parábola abre hacia arriba, lo que indica que el vértice es un mínimo.
Ejercicio 11:Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola dada por la función \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \). ¿Cuál es el valor mínimo de la función y en qué punto se alcanza?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (3, -1) \) y el valor mínimo de la función es \( -1 \).
Explicación: La parábola dada por la función \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) es una parábola que abre hacia arriba. Para encontrar las coordenadas del vértice, podemos usar la fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 1 \) y \( b = -6 \). Así, tenemos:
\[
x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3
\]
Luego, sustituimos \( x = 3 \) en la función para encontrar \( y \):
\[
f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1
\]
Por lo tanto, el vértice de la parábola es \( (3, -1) \) y el valor mínimo de la función es \( -1 \).
Ejercicio 12:Determina las coordenadas del vértice de la parábola definida por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \). ¿Cuál es la forma canónica de la parábola?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (1, -1) \) y la forma canónica de la parábola es \( f(x) = 2(x - 1)^2 - 1 \).
Para encontrar las coordenadas del vértice de la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \), utilizamos la fórmula del vértice \( x_v = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 2 \) y \( b = -4 \). Calculamos:
\[
x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
\]
Sustituyendo \( x_v \) en la función para encontrar \( y_v \):
\[
y_v = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (1, -1) \).
Para escribir la función en forma canónica, completamos el cuadrado:
\[
f(x) = 2(x^2 - 2x) + 1
\]
\[
= 2\left((x - 1)^2 - 1\right) + 1
\]
\[
= 2(x - 1)^2 - 2 + 1
\]
\[
= 2(x - 1)^2 - 1
\]
Así, la forma canónica es \( f(x) = 2(x - 1)^2 - 1 \).
Ejercicio 13:Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola definida por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \). ¿Cuál es el valor mínimo de la función y en qué punto se alcanza?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (2, -3) \) y el valor mínimo de la función es \( -3 \).
Para encontrar el vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \), utilizamos la fórmula del vértice \( x_v = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 2 \) y \( b = -8 \).
Calculamos:
\[
x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2
\]
Luego, sustituimos \( x_v \) en la función para encontrar \( y_v \):
\[
f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 2 \cdot 4 - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (2, -3) \) y el valor mínimo de la función es \( -3 \).
Ejercicio 14:Determina las coordenadas del vértice de la parábola cuya ecuación es \( y = 2x^2 - 8x + 3 \). ¿Es un valor mínimo o máximo?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (2, -5) \) y es un valor mínimo.
Explicación: Para encontrar las coordenadas del vértice de la parábola dada por la ecuación \( y = 2x^2 - 8x + 3 \), utilizamos la fórmula del vértice \( x = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 2 \) y \( b = -8 \).
Calculamos:
\[
x = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2
\]
Luego, sustituimos \( x = 2 \) en la ecuación para encontrar \( y \):
\[
y = 2(2)^2 - 8(2) + 3 = 2(4) - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (2, -5) \). Como el coeficiente \( a = 2 \) es positivo, la parábola tiene un valor mínimo en este punto.
Ejercicio 15:Determina las coordenadas del vértice de la parábola dada por la ecuación \( y = 2x^2 - 4x + 1 \). ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar la función?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (1, -1) \) y el valor mínimo que puede tomar la función es \( -1 \).
Para encontrar las coordenadas del vértice de la parábola dada por la ecuación \( y = 2x^2 - 4x + 1 \), podemos usar la fórmula del vértice \( x_v = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 2 \) y \( b = -4 \). Calculamos:
\[
x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
\]
Luego, sustituimos \( x_v \) en la ecuación original para encontrar \( y_v \):
\[
y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
\]
Así, el vértice se encuentra en \( (1, -1) \) y el valor mínimo de la función, dado que la parábola abre hacia arriba (ya que \( a > 0 \)), es \( -1 \).
Ejercicio 16:Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \). ¿Cuál es la forma canónica de la ecuación de esta parábola?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice son \( (1, -1) \) y la forma canónica de la ecuación de la parábola es \( f(x) = 2(x - 1)^2 - 1 \).
Explicación: Para encontrar el vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \), utilizamos la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \) para encontrar la coordenada \( x \) del vértice. En este caso, \( a = 2 \) y \( b = -4 \), por lo que:
\[
x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
\]
Luego, sustituimos \( x_v \) en la función para encontrar \( y_v \):
\[
f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
\]
Así, el vértice es \( (1, -1) \).
Para la forma canónica, utilizamos la fórmula \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), donde \( (h, k) \) es el vértice. En este caso, \( h = 1 \) y \( k = -1 \):
\[
f(x) = 2(x - 1)^2 - 1
\]
Ejercicio 17:Determina las coordenadas del vértice de la parábola definida por la ecuación \(y = 2x^2 - 4x + 1\).
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice de la parábola son \((1, -1)\).
Para encontrar el vértice de la parábola dada por la ecuación \(y = 2x^2 - 4x + 1\), utilizamos la fórmula del vértice \((h, k)\), donde \(h = -\frac{b}{2a}\) y \(k = f(h)\). Aquí, \(a = 2\) y \(b = -4\).
1. Calculamos \(h\):
\[
h = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
\]
2. Sustituimos \(h\) en la ecuación para encontrar \(k\):
\[
k = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
\]
Por lo tanto, el vértice de la parábola es \((1, -1)\).
Ejercicio 18:Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola definida por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \). Además, determina si la parábola tiene un mínimo o un máximo.
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (2, -3) \). La parábola tiene un mínimo.
Explicación: La función cuadrática tiene la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a = 2 \), \( b = -8 \) y \( c = 5 \). Las coordenadas del vértice se pueden encontrar utilizando las fórmulas:
\[
x_v = -\frac{b}{2a} \quad \text{y} \quad y_v = f(x_v)
\]
Primero calculamos \( x_v \):
\[
x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2
\]
Ahora sustituimos \( x_v \) en la función para encontrar \( y_v \):
\[
y_v = f(2) = 2(2^2) - 8(2) + 5 = 2(4) - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3
\]
Así, el vértice es \( (2, -3) \). Dado que \( a > 0 \), la parábola tiene un mínimo en este punto.
Ejercicio 19:¿Puedes determinar las coordenadas del vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 3 \)? Recuerda que las coordenadas del vértice se pueden encontrar utilizando la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \) y luego sustituyendo este valor en la función para obtener \( y_v \).
Solución: Respuesta: Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (2, -5) \).
Para encontrar el vértice de la parábola dada por la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x + 3 \), utilizamos la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \).
En este caso, \( a = 2 \) y \( b = -8 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula:
\[
x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2
\]
Ahora sustituimos \( x_v \) en la función para encontrar \( y_v \):
\[
y_v = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 3 = 2(4) - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5
\]
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son \( (2, -5) \).
Ejercicio 20:Dibuja la parábola definida por la función \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Identifica sus vértices y el eje de simetría. ¿Cuál es el valor mínimo de la función y en qué punto se alcanza?
Solución: Respuesta: La parábola definida por la función \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) tiene su vértice en el punto \( (2, -1) \), el eje de simetría es la recta \( x = 2 \), y el valor mínimo de la función es \( -1 \), que se alcanza en el punto \( (2, -1) \).
Para obtener la información anterior, podemos reescribir la función en su forma canónica. Primero, completamos el cuadrado:
\[
f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1
\]
De esta forma, podemos ver que el vértice de la parábola es \( (h, k) = (2, -1) \), donde \( h = 2 \) y \( k = -1 \). El eje de simetría de la parábola es la línea vertical que pasa por el vértice, es decir, \( x = 2 \). Dado que la parábola abre hacia arriba (el coeficiente de \( x^2 \) es positivo), el valor mínimo de la función es \( -1 \), que se alcanza en el vértice \( (2, -1) \).
Por lo tanto, la parábola tiene un vértice en \( (2, -1) \), un eje de simetría en \( x = 2 \), y su valor mínimo es \( -1 \).
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En esta sección, te presentamos un breve resumen del temario de Parábolas que has estudiado en 3º ESO de Matemáticas. Este recordatorio puede ser útil si encuentras alguna duda mientras realizas los ejercicios en ResueltosOnline.com.
Temario de Parábolas
Definición de parábola
Elementos de la parábola (vértice, foco, directriz)
Ecuación de la parábola
Parábolas en función cuadrática
Propiedades de la parábola
Aplicaciones de la parábola en problemas de la vida real
Recordatorio de Teoría
La parábola es una curva cóncava que se forma al cortar un cono con un plano paralelo a su generatriz. Su ecuación general en el plano cartesiano es:
$$y = ax^2 + bx + c$$
donde los coeficientes a, b y c determinan la forma y la posición de la parábola. Es importante recordar que:
El vértice de la parábola se puede encontrar usando la fórmula V(-frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a})).
El foco y la directriz son elementos fundamentales que ayudan a definir la parábola: el foco es el punto donde convergen las reflexiones y la directriz es la línea que actúa como guía.
La parábola tiene simetría respecto a su eje de simetría, que es la línea vertical que pasa por el vértice.
Recuerda que comprender estos conceptos te permitirá resolver los ejercicios de forma más efectiva. Si tienes dudas, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor.
