Ejercicios y Problemas de Coordenadas cartesianas 1º ESO
Las coordenadas cartesianas son una herramienta fundamental en el estudio de la geometría y el álgebra, permitiendo representar puntos en un plano a través de un sistema de ejes. En este apartado de nuestra web ResueltosOnline.com, te ofrecemos una amplia variedad de ejercicios y problemas relacionados con las coordenadas cartesianas, diseñados para que los alumnos de 1º ESO puedan comprender y dominar esta importante temática de las matemáticas.
Ejercicios y problemas resueltos
En esta sección encontrarás una selección de ejercicios y problemas resueltos sobre coordenadas cartesianas, acompañados de sus respectivas soluciones. Cada ejercicio está diseñado para facilitar el aprendizaje y la práctica, ayudando a los estudiantes a afianzar sus conocimientos de manera efectiva.
Ejercicio 1:Dibuja el cuadrado cuyas esquinas están en los puntos \( A(1, 1) \), \( B(1, 5) \), \( C(5, 5) \) y \( D(5, 1) \). Indica las coordenadas de cada uno de los vértices y calcula el perímetro del cuadrado.
Solución: Respuesta: Los vértices del cuadrado son:
\( A(1, 1) \),
\( B(1, 5) \),
\( C(5, 5) \),
\( D(5, 1) \).
El perímetro del cuadrado es \( P = 16 \) unidades.
Explicación:
Para dibujar el cuadrado, ubicamos los puntos \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \) en un plano cartesiano. Los lados del cuadrado son paralelos a los ejes, ya que los puntos tienen las mismas coordenadas de \( x \) o de \( y \) en cada par de vértices. La longitud de un lado del cuadrado se calcula como la diferencia entre las coordenadas \( y \) de \( A \) y \( B \) (o \( D \) y \( C \)), que es \( 5 - 1 = 4 \) unidades. El perímetro se obtiene multiplicando la longitud de un lado por 4: \( 4 \times 4 = 16 \) unidades.
Ejercicio 2:Dada la función lineal \( f(x) = 2x - 3 \), determina las coordenadas de los puntos A y B donde la recta intersecta los ejes \( x \) e \( y \) respectivamente. Luego, calcula la distancia entre los puntos A y B utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.
Solución: Respuesta: Los puntos de intersección son \( A(1.5, 0) \) y \( B(0, -3) \). La distancia entre A y B es \( \sqrt{(1.5 - 0)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{1.5^2 + 3^2} = \sqrt{2.25 + 9} = \sqrt{11.25} \approx 3.35 \).
---
Explicación:
1. Para encontrar el punto A donde la recta intersecta el eje \( x \), se establece \( f(x) = 0 \):
\[
2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5
\]
Por lo tanto, \( A(1.5, 0) \).
2. Para encontrar el punto B donde la recta intersecta el eje \( y \), se establece \( x = 0 \):
\[
f(0) = 2(0) - 3 = -3
\]
Por lo tanto, \( B(0, -3) \).
3. Luego, se utiliza la fórmula de distancia entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \):
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
Sustituyendo las coordenadas de A y B:
\[
d = \sqrt{(1.5 - 0)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{(1.5)^2 + (3)^2} = \sqrt{2.25 + 9} = \sqrt{11.25} \approx 3.35
\]
Ejercicio 3:Dibuja el plano cartesiano y ubica los siguientes puntos: \( A(2, 3) \), \( B(-1, -2) \) y \( C(4, -1) \). Luego, responde: ¿Cuáles de los puntos A y C están en el primer cuadrante y cuáles en el tercer cuadrante?
Solución: Respuesta: Los puntos A y C están en el primer cuadrante, mientras que el punto B está en el tercer cuadrante.
Explicación:
- El primer cuadrante se encuentra donde tanto las coordenadas \(x\) como \(y\) son positivas.
- Para el punto \(A(2, 3)\): \(x = 2\) (positivo) y \(y = 3\) (positivo), por lo tanto, está en el primer cuadrante.
- Para el punto \(C(4, -1)\): \(x = 4\) (positivo) y \(y = -1\) (negativo), así que no está en el primer cuadrante.
- El tercer cuadrante se encuentra donde tanto las coordenadas \(x\) como \(y\) son negativas.
- Para el punto \(B(-1, -2)\): \(x = -1\) (negativo) y \(y = -2\) (negativo), por lo tanto, está en el tercer cuadrante.
Por lo tanto, el resultado correcto es que el único punto en el primer cuadrante es \(A\) y el único en el tercer cuadrante es \(B\). El punto \(C\) está en el cuarto cuadrante.
Ejercicio 4:Dados los puntos A(2, 3), B(4, 7) y C(6, 3), determina si los puntos A, B y C son colineales. Para ello, calcula la pendiente de los segmentos AB y BC. Recuerda que dos puntos son colineales si la pendiente entre ellos es la misma. Utiliza la fórmula de la pendiente:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
¿Qué conclusión puedes sacar sobre la colinealidad de los puntos A, B y C?
Solución: Respuesta: Los puntos A, B y C no son colineales.
Para determinar si los puntos A(2, 3), B(4, 7) y C(6, 3) son colineales, calculamos las pendientes de los segmentos AB y BC utilizando la fórmula de la pendiente:
1. Calcular la pendiente de AB:
\[
m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
2. Calcular la pendiente de BC:
\[
m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - 7}{6 - 4} = \frac{-4}{2} = -2
\]
Dado que \(m_{AB} = 2\) y \(m_{BC} = -2\) son diferentes, esto implica que los segmentos AB y BC tienen pendientes distintas. Por lo tanto, los puntos A, B y C no son colineales.
Ejercicio 5:Dado el plano cartesiano, localiza los siguientes puntos y determina si forman un triángulo: \( A(2, 3) \), \( B(5, 7) \) y \( C(2, 7) \). Calcula la longitud de cada lado del triángulo y determina el perímetro del mismo. ¿Es un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: Los puntos \( A(2, 3) \), \( B(5, 7) \) y \( C(2, 7) \) forman un triángulo. La longitud de los lados del triángulo son: \( AB = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \), \( BC = \sqrt{(5-2)^2 + (7-7)^2} = \sqrt{9 + 0} = 3 \), \( CA = \sqrt{(2-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4 \). El perímetro del triángulo es \( P = AB + BC + CA = 5 + 3 + 4 = 12 \). Este triángulo es un triángulo rectángulo porque \( AB^2 = BC^2 + CA^2 \) ( \( 5^2 = 3^2 + 4^2 \) o \( 25 = 9 + 16 \) ).
Explicación: Para determinar si los puntos forman un triángulo, se verifica que no estén alineados. Luego, calculamos las longitudes de los lados utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Finalmente, se verifica si cumple con el teorema de Pitágoras para determinar si es un triángulo rectángulo.
Ejercicio 6:Encuentra las intersecciones de las rectas \(y = 2x + 3\) y \(y = -\frac{1}{2}x + 1\) en el plano cartesiano. Una vez que hayas hallado los puntos de intersección, determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o se cruzan. Justifica tu respuesta utilizando las pendientes de ambas rectas.
Solución: Respuesta: Las rectas se cruzan en el punto \((-\frac{2}{5}, \frac{11}{5})\).
Para encontrar el punto de intersección, igualamos las dos ecuaciones:
\[
2x + 3 = -\frac{1}{2}x + 1
\]
Multiplicamos todo por 2 para eliminar el denominador:
\[
4x + 6 = -x + 2
\]
Sumamos \(x\) a ambos lados:
\[
5x + 6 = 2
\]
Restamos 6 de ambos lados:
\[
5x = -4
\]
Dividimos entre 5:
\[
x = -\frac{4}{5}
\]
Ahora sustituimos \(x\) en una de las ecuaciones para encontrar \(y\). Usamos la primera ecuación:
\[
y = 2\left(-\frac{4}{5}\right) + 3 = -\frac{8}{5} + \frac{15}{5} = \frac{7}{5}
\]
Así que el punto de intersección es \(\left(-\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right)\).
Ahora, para determinar la relación entre las rectas, calculamos las pendientes:
- La pendiente de la primera recta \(y = 2x + 3\) es \(m_1 = 2\).
- La pendiente de la segunda recta \(y = -\frac{1}{2}x + 1\) es \(m_2 = -\frac{1}{2}\).
Para comprobar si son paralelas, perpendiculares o se cruzan, utilizamos las pendientes:
- Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
- Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\).
Calculamos el producto de las pendientes:
\[
m_1 \times m_2 = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1
\]
Como el producto de las pendientes es \(-1\), podemos concluir que las rectas son perpendiculares.
Ejercicio 7:En un plano cartesiano, los puntos \( A(2, 3) \), \( B(5, 7) \) y \( C(8, 3) \) forman un triángulo. Calcula las longitudes de los lados del triángulo \( AB \), \( BC \) y \( AC \). Luego, determina si el triángulo es rectángulo, obtusángulo o acutángulo. Justifica tu respuesta utilizando el teorema de Pitágoras o la relación entre los lados.
Solución: Respuesta: Las longitudes de los lados del triángulo son: \( AB = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \), \( BC = \sqrt{(8-5)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \), \( AC = \sqrt{(8-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{36 + 0} = \sqrt{36} = 6 \).
El triángulo es acutángulo.
Explicación: Para determinar el tipo de triángulo, utilizamos la relación entre los lados: \( AB^2 + BC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \) y \( AC^2 = 6^2 = 36 \). Como \( AB^2 + BC^2 > AC^2 \), el triángulo es acutángulo.
Ejercicio 8:Encuentra las coordenadas del punto de intersección entre las dos rectas dadas por las ecuaciones \( y = 2x + 3 \) y \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \). Además, determina si el punto de intersección se encuentra en el primer cuadrante, en el segundo cuadrante, en el tercer cuadrante o en el cuarto cuadrante del plano cartesiano.
Solución: Respuesta: Las coordenadas del punto de intersección son \( \left( -\frac{2}{5}, \frac{11}{5} \right) \) y se encuentra en el segundo cuadrante.
Explicación: Para encontrar el punto de intersección, igualamos las dos ecuaciones:
\[
2x + 3 = -\frac{1}{2}x + 1
\]
Resolviendo esta ecuación, primero sumamos \(\frac{1}{2}x\) a ambos lados:
\[
2x + \frac{1}{2}x + 3 = 1
\]
Multiplicamos todo por 2 para eliminar el denominador:
\[
4x + x + 6 = 2 \implies 5x + 6 = 2
\]
Restamos 6 de ambos lados:
\[
5x = -4 \implies x = -\frac{4}{5}
\]
Ahora sustituimos \(x\) en una de las ecuaciones para encontrar \(y\):
\[
y = 2\left(-\frac{4}{5}\right) + 3 = -\frac{8}{5} + \frac{15}{5} = \frac{7}{5}
\]
Por lo tanto, el punto de intersección es \( \left(-\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right) \).
Finalmente, como \(x\) es negativo y \(y\) es positivo, el punto se encuentra en el segundo cuadrante.
Ejercicio 9:Dibuja el cuadrado cuyos vértices están en los puntos \( A(2, 3) \), \( B(2, 7) \), \( C(6, 7) \) y \( D(6, 3) \). Luego, determina las coordenadas del punto medio de las diagonales \( AC \) y \( BD \). ¿Cuáles son las coordenadas de estos puntos medios?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del punto medio de la diagonal \( AC \) son \( (4, 5) \) y las coordenadas del punto medio de la diagonal \( BD \) son \( (4, 5) \).
Explicación:
Para encontrar las coordenadas del punto medio de una diagonal, utilizamos la fórmula del punto medio:
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
1. Para la diagonal \( AC \) con \( A(2, 3) \) y \( C(6, 7) \):
\[
M_{AC} = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{10}{2} \right) = (4, 5)
\]
2. Para la diagonal \( BD \) con \( B(2, 7) \) y \( D(6, 3) \):
\[
M_{BD} = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{7 + 3}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{10}{2} \right) = (4, 5)
\]
Los puntos medios de ambas diagonales son el mismo punto: \( (4, 5) \).
Ejercicio 10:Dibuja el cuadrado cuyas esquinas son los puntos \( A(1, 1) \), \( B(1, 5) \), \( C(5, 5) \) y \( D(5, 1) \) en el plano cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento \( AC \)?
Solución: Respuesta: Las coordenadas del punto medio del segmento \( AC \) son \( M(3, 3) \).
Para calcular el punto medio \( M \) de un segmento que une dos puntos \( A(x_1, y_1) \) y \( C(x_2, y_2) \), se utiliza la fórmula:
\[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
\]
Dado que \( A(1, 1) \) y \( C(5, 5) \), sustituimos en la fórmula:
\[
M\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = M\left(\frac{6}{2}, \frac{6}{2}\right) = M(3, 3)
\]
Por lo tanto, el punto medio del segmento \( AC \) es \( M(3, 3) \).
Ejercicio 11:Dado el cuadrado cuyas esquinas son los puntos \(A(2, 3)\), \(B(2, 7)\), \(C(6, 7)\) y \(D(6, 3)\), calcula las coordenadas del punto \(E\) que se encuentra en el centro del cuadrado. Luego, determina las coordenadas de los puntos \(F\) y \(G\) que se encuentran en la intersección de las diagonales del cuadrado. Finalmente, expresa la distancia entre el punto \(E\) y el origen de coordenadas \(O(0, 0)\) utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano.
Solución: Respuesta: Las coordenadas del punto \(E\) son \((4, 5)\) y las coordenadas de los puntos \(F\) y \(G\) también son \((4, 5)\). La distancia entre el punto \(E\) y el origen de coordenadas \(O(0, 0)\) es \(5\sqrt{2}\).
Explicación:
1. Cálculo del centro del cuadrado \(E\):
El centro \(E\) de un cuadrado se encuentra promediando las coordenadas de sus vértices.
\[
E\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = E\left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) = E(4, 5)
\]
2. Intersección de las diagonales:
En un cuadrado, las diagonales se intersectan en el mismo punto que es el centro, por lo que \(F\) y \(G\) también son \(E(4, 5)\).
3. Cálculo de la distancia entre \(E\) y el origen \(O(0, 0)\):
Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\):
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
Sustituyendo:
\[
d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \approx 5\sqrt{2}
\]
Ejercicio 12:Determina las coordenadas del punto C que es el punto medio del segmento AB, donde A(2, 3) y B(8, 7). Además, indica si el punto C se encuentra en el primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante del plano cartesiano.
Solución: Respuesta: Las coordenadas del punto C son \( C(5, 5) \). El punto C se encuentra en el primer cuadrante del plano cartesiano.
Explicación: Para encontrar el punto medio C del segmento AB, utilizamos la fórmula del punto medio:
\[
C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
\]
Donde \( A(2, 3) \) y \( B(8, 7) \). Entonces:
\[
C\left(\frac{2 + 8}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) = C\left(\frac{10}{2}, \frac{10}{2}\right) = C(5, 5)
\]
Dado que las coordenadas de C son positivas, el punto se encuentra en el primer cuadrante.
Ejercicio 13:Determina las coordenadas del punto \( P \) que se encuentra en la intersección de las rectas \( y = 2x + 3 \) y \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \). Además, calcula la distancia entre el punto \( P \) y el origen \( O(0, 0) \).
Solución: Respuesta: Las coordenadas del punto \( P \) son \( \left( -\frac{2}{5}, \frac{7}{5} \right) \) y la distancia entre el punto \( P \) y el origen \( O(0, 0) \) es \( \frac{\sqrt{53}}{5} \).
Explicación: Para encontrar el punto de intersección \( P \) de las rectas \( y = 2x + 3 \) y \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \), igualamos las dos expresiones:
\[
2x + 3 = -\frac{1}{2}x + 1
\]
Resolviendo la ecuación para \( x \):
\[
2x + \frac{1}{2}x = 1 - 3 \\
\frac{5}{2}x = -2 \\
x = -\frac{4}{5}
\]
Sustituyendo \( x \) en una de las ecuaciones para encontrar \( y \):
\[
y = 2\left(-\frac{4}{5}\right) + 3 = -\frac{8}{5} + 3 = -\frac{8}{5} + \frac{15}{5} = \frac{7}{5}
\]
Por lo tanto, el punto de intersección es \( P\left(-\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right) \).
Para calcular la distancia entre \( P \) y el origen \( O(0, 0) \), utilizamos la fórmula de la distancia:
\[
d = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Sustituyendo las coordenadas de \( P \):
\[
d = \sqrt{\left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{7}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{49}{25}} = \sqrt{\frac{65}{25}} = \frac{\sqrt{65}}{5}
\]
Por lo tanto, la distancia entre \( P \) y \( O \) es \( \frac{\sqrt{65}}{5} \).
Ejercicio 14:Dado el siguiente plano cartesiano, los puntos \( A(2, 3) \), \( B(-1, 4) \) y \( C(3, -2) \) son tres puntos que representan la ubicación de tres tiendas en una ciudad.
1. Dibuja el plano cartesiano y ubica los puntos \( A \), \( B \) y \( C \).
2. Calcula la distancia entre los puntos \( A \) y \( B \), y entre los puntos \( B \) y \( C \) utilizando la fórmula de la distancia:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
3. ¿Cuál de las tres tiendas está más cerca de la tienda \( A \)? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: La tienda \( B \) está más cerca de la tienda \( A \).
1. Para ubicar los puntos en el plano cartesiano:
- El punto \( A(2, 3) \) se encuentra en la posición \( x = 2 \) y \( y = 3 \).
- El punto \( B(-1, 4) \) se encuentra en la posición \( x = -1 \) y \( y = 4 \).
- El punto \( C(3, -2) \) se encuentra en la posición \( x = 3 \) y \( y = -2 \).
Al graficar estos puntos en un plano cartesiano, se visualizarán de la siguiente manera:
- \( A \) en (2, 3)
- \( B \) en (-1, 4)
- \( C \) en (3, -2)
2. Calculamos la distancia entre los puntos \( A \) y \( B \):
Usando la fórmula de la distancia:
\[
d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{((-1) - 2)^2 + (4 - 3)^2}
\]
\[
d_{AB} = \sqrt{(-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16
\]
Ahora calculamos la distancia entre los puntos \( B \) y \( C \):
\[
d_{BC} = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2}
\]
\[
d_{BC} = \sqrt{(4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.21
\]
3. Comparando las distancias:
- La distancia \( d_{AB} \approx 3.16 \)
- La distancia \( d_{BC} \approx 7.21 \)
Por lo tanto, la tienda \( B \) está más cerca de la tienda \( A \) porque la distancia \( d_{AB} \) es menor que \( d_{BC} \).
Ejercicio 15:Dado el punto A(3, 4) y el punto B(-1, -2), determina la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos. A continuación, calcula la distancia entre los puntos A y B y el punto medio del segmento AB. Expresa tu respuesta de forma precisa y utiliza las fórmulas necesarias.
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, 4) y B(-1, -2) es \( y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \). La distancia entre los puntos A y B es \( d = 5 \) unidades. El punto medio del segmento AB es \( M(1, 1) \).
---
Explicación:
1. Ecuación de la recta: Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B, utilizamos la fórmula de la pendiente \( m \):
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{-1 - 3} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}
\]
Luego, usando la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta \( y - y_1 = m(x - x_1) \), tomamos el punto A(3, 4):
\[
y - 4 = \frac{3}{2}(x - 3)
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} + 4 \implies y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}
\]
Para la forma estándar, podemos reescribir esto como:
\[
3x - 2y - 1 = 0
\]
2. Distancia entre A y B: La distancia \( d \) se calcula usando la fórmula:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
Para A(3, 4) y B(-1, -2):
\[
d = \sqrt{((-1) - 3)^2 + ((-2) - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 5.66 \text{ unidades}
\]
3. Punto medio del segmento AB: El punto medio \( M \) se encuentra usando la fórmula:
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
Entonces:
\[
M = \left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 1)
\]
Por lo tanto, hemos encontrado la ecuación de la recta, la distancia entre los puntos y el punto medio del segmento.
Ejercicio 16:Dada la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \), encuentra la ecuación de la recta en forma explícita \( y = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la ordenada al origen. Luego, determina si el punto \( C(6, 10) \) pertenece a esta recta. Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta es \( y = 2x - 1 \). El punto \( C(6, 10) \) no pertenece a esta recta.
Explicación:
1. Encontrar la pendiente \( m \):
La fórmula para la pendiente entre dos puntos \( A(x_1, y_1) \) y \( B(x_2, y_2) \) es:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Sustituyendo los valores de \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \):
\[
m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
2. Encontrar la ordenada al origen \( b \):
Usamos la fórmula de la recta \( y = mx + b \) y uno de los puntos para encontrar \( b \). Usaremos el punto \( A(2, 3) \):
\[
3 = 2(2) + b \implies 3 = 4 + b \implies b = 3 - 4 = -1
\]
Entonces, la ecuación de la recta es:
\[
y = 2x - 1
\]
3. Comprobar si el punto \( C(6, 10) \) pertenece a la recta:
Sustituyendo \( x = 6 \) en la ecuación de la recta:
\[
y = 2(6) - 1 = 12 - 1 = 11
\]
El punto \( C(6, 10) \) tiene una coordenada \( y = 10 \), que no es igual a 11.
Por lo tanto, el punto \( C(6, 10) \) no pertenece a la recta.
Ejercicio 17:Dado el punto \( A(2, 3) \) y el punto \( B(6, -1) \), determina la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos en forma explícita \( y = mx + b \). Luego, halla las coordenadas del punto \( C \) que se encuentra en la intersección de esta recta y la recta perpendicular a ella que pasa por el punto \( A \). Finalmente, calcula la distancia entre los puntos \( A \) y \( C \).
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta es \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \). El punto \( C \) tiene coordenadas \( C(2, 3) \) y la distancia entre los puntos \( A \) y \( C \) es \( 0 \) unidades.
Explicación:
1. Ecuación de la recta:
- Primero, calculamos la pendiente \( m \) de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(6, -1) \):
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 3}{6 - 2} = \frac{-4}{4} = -1
\]
- Usamos la fórmula de la ecuación de la recta \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
\[
y - 3 = -1(x - 2) \implies y - 3 = -x + 2 \implies y = -x + 5
\]
- Sin embargo, la pendiente correcta es \( -\frac{1}{2} \), ya que la pendiente real entre \( A \) y \( B \) se calcula de nuevo correctamente. La ecuación correcta es \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \).
2. Recta perpendicular:
- La pendiente de la recta perpendicular será el negativo recíproco de \( -\frac{1}{2} \), que es \( 2 \).
- La ecuación de la recta perpendicular que pasa por \( A(2, 3) \) es:
\[
y - 3 = 2(x - 2) \implies y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1
\]
3. Intersección de las rectas:
- Igualamos las ecuaciones:
\[
-\frac{1}{2}x + 4 = 2x - 1
\]
Resolviendo:
\[
4 + 1 = 2x + \frac{1}{2}x \implies 5 = \frac{5}{2}x \implies x = 2
\]
- Sustituyendo \( x = 2 \) en \( y = -\frac{1}{2}(2) + 4 = 3 \), obtenemos el punto \( C(2, 3) \).
4. Distancia entre \( A \) y \( C \):
- Dado que \( A \) y \( C \) son el mismo punto, la distancia es \( 0 \) unidades.
Ejercicio 18:Dado el punto \( A(3, 4) \) y el punto \( B(-1, -2) \), determina la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos en forma \( y = mx + b \). Luego, calcula la distancia entre los puntos \( A \) y \( B \) utilizando la fórmula de distancia. Por último, encuentra el punto medio del segmento que une \( A \) y \( B \).
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta es \( y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \), la distancia entre los puntos \( A \) y \( B \) es \( \sqrt{52} \) o aproximadamente \( 7.21 \), y el punto medio del segmento que une \( A \) y \( B \) es \( (1, 1) \).
Explicación:
1. Ecuación de la recta:
- La pendiente \( m \) se calcula como:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{-1 - 3} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}
\]
- Usando la forma punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
\[
y - 4 = \frac{3}{2}(x - 3) \implies y - 4 = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}
\]
2. Distancia entre los puntos:
- La fórmula de distancia es:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}
\]
3. Punto medio:
- El punto medio \( M \) se calcula como:
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 1)
\]
Ejercicio 19:Dibuja el plano cartesiano y representa los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -2), C(4, 0) y D(-3, 5). Luego, determina las distancias entre los puntos A y B, B y C, y C y D. Utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano, que es \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). ¿Cuál es la distancia total recorrida al ir de A a B, de B a C y de C a D?
Solución: Respuesta: La distancia total recorrida al ir de A a B, de B a C y de C a D es aproximadamente 14.07 unidades.
1. Distancia A a B:
\[
d_{AB} = \sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-2) - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5.83
\]
2. Distancia B a C:
\[
d_{BC} = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(5)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5.39
\]
3. Distancia C a D:
\[
d_{CD} = \sqrt{((-3) - 4)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (5)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74} \approx 8.60
\]
4. Distancia total:
\[
D_{\text{total}} = d_{AB} + d_{BC} + d_{CD} \approx 5.83 + 5.39 + 8.60 \approx 19.82
\]
La distancia total recorrida es aproximadamente 19.82 unidades.
Ejercicio 20:Dibuja el plano cartesiano y localiza los siguientes puntos: A(2, 3), B(-1, -2) y C(0, 4). Luego, responde: ¿Cuál es la distancia entre los puntos A y C? Utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
Solución: Respuesta: La distancia entre los puntos A(2, 3) y C(0, 4) es \( d = \sqrt{5} \) o aproximadamente 2.24.
Para calcular la distancia entre los puntos A y C, utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
Donde \( A(2, 3) \) es \( (x_1, y_1) \) y \( C(0, 4) \) es \( (x_2, y_2) \).
Sustituyendo los valores:
\[
d = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
Por lo tanto, la distancia entre los puntos A y C es \( \sqrt{5} \).
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Resumen del Temario de Coordenadas Cartesianas – 1º ESO
En esta sección, vamos a repasar los aspectos más importantes del temario de Coordenadas Cartesianas que has visto en 1º de ESO. Este concepto es fundamental para entender la representación de puntos en un plano y te ayudará en el desarrollo de tus habilidades matemáticas.
Temario
Definición de coordenadas cartesianas
El plano cartesiano
Ejes X e Y
Localización de puntos
Distancia entre puntos
Segmentos en el plano cartesiano
Teoría y Recordatorio
Las coordenadas cartesianas son un sistema que permite localizar puntos en un plano mediante dos números: la abscisa (X) y la ordenada (Y). El punto se representa como un par ordenado ((x, y)), donde (x) indica la posición horizontal y (y) la vertical.
El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes, que se numeran en sentido antihorario, comenzando desde el cuadrante superior derecho. Es importante recordar que:
En el cuadrante I, ambos valores son positivos.
En el cuadrante II, la abscisa es negativa y la ordenada es positiva.
En el cuadrante III, ambos valores son negativos.
En el cuadrante IV, la abscisa es positiva y la ordenada es negativa.
Para calcular la distancia entre dos puntos ((x_1, y_1)) y ((x_2, y_2)), puedes utilizar la fórmula:
$$d = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
Recuerda que visualizar correctamente el plano y los puntos en él es esencial para resolver los ejercicios con éxito. Si en algún momento sientes dudas o necesitas aclaraciones, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades en matemáticas!
