Ejercicios y Problemas de Funciones y Gráficas 3º ESO
En el estudio de las Funciones y Gráficas en 3º ESO, nos adentramos en conceptos fundamentales que son la base para entender el comportamiento de diversas relaciones matemáticas. A través de esta sección, los alumnos podrán explorar de manera interactiva y visual cómo se representan las funciones, así como aprender a interpretar sus gráficas. Nuestro objetivo es facilitar el aprendizaje mediante ejemplos claros y prácticos que permitan a los estudiantes consolidar sus conocimientos de forma efectiva.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección, ofrecemos una variedad de ejercicios y problemas resueltos relacionados con funciones y gráficas. Cada ejercicio incluye su solución correspondiente, lo que permite a los alumnos comprobar su comprensión y mejorar sus habilidades matemáticas de manera autónoma.
Ejercicio 1:Determina si la siguiente relación es una función: \( f = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4), (3, 5)\} \). Explica por qué sí o por qué no.
Solución: Respuesta: No, la relación \( f = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4), (3, 5)\} \) no es una función.
Explicación: Para que una relación sea considerada una función, cada elemento del dominio debe estar relacionado con exactamente un elemento del codominio. En este caso, el número \( 1 \) del dominio está relacionado con dos elementos diferentes: \( 2 \) y \( 4 \). Esto significa que no se cumple la condición de que cada entrada tenga una única salida, por lo que la relación no puede ser una función.
Ejercicio 2:Determina la intersección de las funciones \( f(x) = 2x + 3 \) y \( g(x) = -x + 1 \). Para ello, resuelve el sistema de ecuaciones que se forma al igualar ambas funciones. Además, grafica ambas funciones en el mismo plano cartesiano y señala el punto de intersección.
Solución: Respuesta: La intersección de las funciones \( f(x) = 2x + 3 \) y \( g(x) = -x + 1 \) se encuentra en el punto \( \left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right) \).
Para encontrar la intersección, igualamos las dos funciones:
\[
2x + 3 = -x + 1
\]
Resolviendo la ecuación:
1. Sumamos \( x \) a ambos lados:
\[
2x + x + 3 = 1
\]
\[
3x + 3 = 1
\]
2. Restamos 3 de ambos lados:
\[
3x = 1 - 3
\]
\[
3x = -2
\]
3. Dividimos entre 3:
\[
x = -\frac{2}{3}
\]
Ahora sustituimos \( x \) en cualquiera de las funciones para encontrar \( y \). Usamos \( g(x) \):
\[
g\left(-\frac{2}{3}\right) = -\left(-\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}
\]
Por lo tanto, el punto de intersección es \( \left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right) \).
Finalmente, puedes graficar ambas funciones en el mismo plano cartesiano y señalar el punto de intersección que corresponde a \( \left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right) \).
Ejercicio 3:Determina la imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 5 \). Además, grafica la función en el intervalo \( [-2, 5] \) y señala el punto correspondiente a \( (3, f(3)) \) en la gráfica.
Solución: Respuesta: La imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 5 \) es \( f(3) = 11 \). Por lo tanto, el punto correspondiente es \( (3, 11) \).
A continuación, graficamos la función \( f(x) = 2x + 5 \) en el intervalo \( [-2, 5] \):
1. Calculamos algunos valores de \( f(x) \):
- \( f(-2) = 2(-2) + 5 = 1 \)
- \( f(0) = 2(0) + 5 = 5 \)
- \( f(2) = 2(2) + 5 = 9 \)
- \( f(5) = 2(5) + 5 = 15 \)
2. La gráfica de \( f(x) \) es una línea recta que pasa por los puntos \( (-2, 1) \), \( (0, 5) \), \( (2, 9) \), \( (3, 11) \), y \( (5, 15) \).
3. En la gráfica, señalamos el punto \( (3, 11) \).
+=+2x+%2B+5)
En esta gráfica, el punto rojo indica la imagen de \( x = 3 \).
Ejercicio 4:Determina la imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 1 \). Además, grafica la función en el intervalo \( x \in [-2, 5] \) y señala el punto correspondiente a \( x = 3 \) en la gráfica.
Solución: Respuesta: La imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 1 \) es \( f(3) = 7 \).
Para calcular la imagen, sustituimos \( x \) por \( 3 \) en la función:
\[
f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7.
\]
Aquí tienes la gráfica de la función \( f(x) = 2x + 1 \) en el intervalo \( x \in [-2, 5] \):
1. Primero, calculamos algunos puntos:
- \( f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \)
- \( f(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 \)
- \( f(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \)
- \( f(5) = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 11 \)
2. Ahora, graficamos estos puntos y la línea que los une.
Para señalar el punto correspondiente a \( x = 3 \):
- En el eje \( y \), localizamos \( f(3) = 7 \) y lo marcamos en la gráfica.
La gráfica en el intervalo \( [-2, 5] \) se verá así (puedes graficarla en una herramienta adecuada):
- El punto \( (3, 7) \) se destaca en la gráfica.
La función es una recta creciente. Para crear la gráfica, solo necesitas conectar los puntos calculados y marcar el punto correspondiente a \( x = 3 \).
Ejercicio 5:Determina la imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 1 \). Luego, grafica la función en el intervalo \( x \in [-2, 5] \) e indica el punto correspondiente a la imagen que encontraste.
Solución: Respuesta: La imagen de \( x = 3 \) en la función \( f(x) = 2x + 1 \) es \( f(3) = 7 \).
Para encontrar la imagen de \( x = 3 \), simplemente sustituimos \( x \) en la función:
\[
f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
\]
Ahora, para graficar la función \( f(x) = 2x + 1 \) en el intervalo \( x \in [-2, 5] \), primero calculamos algunos puntos:
- Para \( x = -2 \): \( f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \)
- Para \( x = -1 \): \( f(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \)
- Para \( x = 0 \): \( f(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 \)
- Para \( x = 1 \): \( f(1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 \)
- Para \( x = 2 \): \( f(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \)
- Para \( x = 3 \): \( f(3) = 7 \) (ya calculado)
- Para \( x = 4 \): \( f(4) = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9 \)
- Para \( x = 5 \): \( f(5) = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 11 \)
Con estos puntos, la gráfica será una línea recta que pasa por los puntos calculados. El punto correspondiente a la imagen de \( x = 3 \) es \( (3, 7) \), el cual se debe marcar en la gráfica.
En resumen, la imagen de \( x = 3 \) es 7, y al graficar, el punto \( (3, 7) \) debe ser indicado claramente.
Ejercicio 6:Dibuja la gráfica de la función lineal \( f(x) = 2x + 3 \). Identifica la pendiente y el punto de intersección con el eje \( y \). ¿Cuál es el valor de \( f(0) \)?
Solución: Respuesta: La gráfica de la función \( f(x) = 2x + 3 \) es una recta. La pendiente es \( 2 \) y el punto de intersección con el eje \( y \) es \( (0, 3) \). El valor de \( f(0) \) es \( 3 \).
Explicación: La pendiente de la función es el coeficiente de \( x \), que en este caso es \( 2 \), lo que significa que por cada unidad que se incrementa \( x \), \( f(x) \) aumenta en \( 2 \) unidades. El punto de intersección con el eje \( y \) se encuentra evaluando \( f(0) \), que da como resultado \( 3 \). Por lo tanto, el punto de intersección es \( (0, 3) \).
Ejercicio 7:Un tren sale de una estación A y se dirige hacia una estación B, situada a 300 km de distancia. La velocidad del tren varía según el tiempo: durante las primeras 2 horas viaja a 90 km/h y, a partir de ese momento, aumenta su velocidad a 120 km/h.
1. Plantea la función que describe la distancia recorrida por el tren en función del tiempo \( t \) (en horas), considerando que \( t \) varía de 0 a 5 horas.
2. Grafica la función obtenida en el intervalo \( [0, 5] \).
3. ¿En qué momento el tren alcanza la estación B? Justifica tu respuesta analizando la función.
Solución: Respuesta: La función que describe la distancia recorrida por el tren en función del tiempo \( t \) es:
\[
d(t) =
\begin{cases}
90t & \text{si } 0 \leq t < 2 \\
180 + 120(t - 2) & \text{si } 2 \leq t \leq 5
\end{cases}
\]
► Explicación:
1. Planteamiento de la función:
- Durante las primeras 2 horas, el tren viaja a 90 km/h. Por lo tanto, la distancia recorrida en este intervalo es:
\[
d(t) = 90t \quad \text{para } 0 \leq t < 2
\]
- Después de 2 horas, el tren aumenta su velocidad a 120 km/h. En este caso, la distancia recorrida hasta las 2 horas es:
\[
d(2) = 90 \cdot 2 = 180 \text{ km}
\]
Desde las 2 horas en adelante, la distancia recorrida en las horas posteriores se calcula sumando los 180 km ya recorridos más la distancia recorrida a 120 km/h:
\[
d(t) = 180 + 120(t - 2) \quad \text{para } 2 \leq t \leq 5
\]
2. Gráfica de la función:
- La gráfica de la función es una línea recta desde el origen \( (0,0) \) hasta \( (2,180) \) y luego continúa con una pendiente mayor hasta \( (5, 300) \).
3. ¿Cuándo alcanza el tren la estación B?:
- Para determinar cuándo el tren alcanza la estación B (300 km), igualamos la función a 300:
\[
180 + 120(t - 2) = 300
\]
Resolviendo:
\[
120(t - 2) = 120 \\
t - 2 = 1 \\
t = 3
\]
- Por lo tanto, el tren alcanza la estación B en \( t = 3 \) horas.
► Resumen:
El tren alcanza la estación B a las 3 horas después de su salida.
Ejercicio 8:Determina la función \( f(x) \) que representa la relación entre la variable \( x \) y el valor de \( f(x) \) en el siguiente contexto: Un restaurante cobra una tarifa fija de 15 euros por la reserva de una mesa y 10 euros adicionales por cada plato que se pida. Escribe la ecuación de la función que describe el costo total \( C \) en función del número de platos \( p \) que se piden. Luego, grafica la función en un sistema de coordenadas, indicando claramente la tarifa fija y cómo varía el costo total al aumentar el número de platos pedidos.
Solución: Respuesta: La función que representa el costo total \( C \) en función del número de platos \( p \) es:
\[
C(p) = 15 + 10p
\]
Explicación:
- La tarifa fija por la reserva de la mesa es de 15 euros.
- Cada plato adicional cuesta 10 euros, por lo que si se piden \( p \) platos, el costo adicional será \( 10p \).
- Por lo tanto, la función total del costo \( C \) es la suma de la tarifa fija y el costo por los platos pedidos.
Para graficar la función, puedes seguir estos pasos:
1. Dibuja un sistema de coordenadas con el eje \( x \) representando el número de platos \( p \) y el eje \( y \) representando el costo total \( C(p) \).
2. Marca el punto donde \( p = 0 \). En ese caso, \( C(0) = 15 \), lo que representa la tarifa fija.
3. A medida que \( p \) aumenta, el costo total aumenta linealmente. Por ejemplo:
- Para \( p = 1 \), \( C(1) = 15 + 10(1) = 25 \)
- Para \( p = 2 \), \( C(2) = 15 + 10(2) = 35 \)
- Para \( p = 3 \), \( C(3) = 15 + 10(3) = 45 \)
4. Dibuja una línea recta que conecte estos puntos, comenzando en \( (0, 15) \) y subiendo con una pendiente de 10.
Esta gráfica muestra cómo el costo total \( C \) aumenta a medida que se piden más platos en el restaurante.
Ejercicio 9:Determina la función lineal que representa la relación entre el número de horas que un estudiante estudia y la nota que obtiene en un examen, sabiendo que si estudia 2 horas, obtiene una nota de 6 y si estudia 5 horas, su nota es 9. Una vez que encuentres la función, grafica la recta y determina la nota que obtendría si estudia 4 horas.
Solución: Respuesta: La función lineal que representa la relación es \( f(x) = 1.0x + 4.0 \). Si el estudiante estudia 4 horas, obtendrá una nota de 8.
---
Explicación:
Para determinar la función lineal, utilizaremos la forma de la ecuación de una recta \( y = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la intersección con el eje y.
1. Encontrar la pendiente \( m \):
Utilizamos los dos puntos dados: \( (2, 6) \) y \( (5, 9) \).
La fórmula para la pendiente es:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 6}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1
\]
2. Encontrar la intersección \( b \):
Usamos uno de los puntos, digamos \( (2, 6) \):
\[
6 = 1 \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad 6 = 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = 4
\]
3. Función lineal:
La función que relaciona las horas de estudio \( x \) con la nota \( f(x) \) es:
\[
f(x) = 1x + 4
\]
4. Calcular la nota para 4 horas:
Sustituyendo \( x = 4 \):
\[
f(4) = 1 \cdot 4 + 4 = 4 + 4 = 8
\]
Por lo tanto, si el estudiante estudia 4 horas, obtendrá una nota de 8.
Ejercicio 10:Determina la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 9) \). A continuación, grafica la función en un sistema de coordenadas y calcula el valor de \( y \) cuando \( x = 7 \).
Solución: Respuesta: La función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 9) \) es \( y = 2x - 1 \). Cuando \( x = 7 \), el valor de \( y \) es \( 13 \).
Para encontrar la función lineal, primero calculamos la pendiente \( m \) utilizando la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2
\]
Luego, utilizamos la fórmula de la recta en la forma punto-pendiente:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Usando el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Resolviendo:
\[
y - 3 = 2x - 4
\]
\[
y = 2x - 1
\]
Finalmente, para calcular \( y \) cuando \( x = 7 \):
\[
y = 2(7) - 1 = 14 - 1 = 13
\]
Por lo tanto, el valor de \( y \) cuando \( x = 7 \) es \( 13 \).
Ejercicio 11:Determina la función lineal \( f(x) = mx + b \) que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 11) \). Calcula los valores de \( m \) y \( b \), y representa gráficamente la función en un sistema de ejes. Además, halla el valor de \( f(4) \).
Solución: Respuesta: La función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 11) \) es \( f(x) = \frac{8}{3}x - \frac{1}{3} \). El valor de \( f(4) \) es \( 9 \).
► Explicación:
1. Cálculo de la pendiente \( m \):
La fórmula para calcular la pendiente \( m \) entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) es:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Sustituyendo los valores de los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 11) \):
\[
m = \frac{11 - 3}{5 - 2} = \frac{8}{3}
\]
2. Cálculo de la ordenada al origen \( b \):
Usamos la ecuación de la recta \( f(x) = mx + b \) y sustituimos uno de los puntos, por ejemplo \( A(2, 3) \):
\[
3 = \frac{8}{3}(2) + b
\]
Resolviendo para \( b \):
\[
3 = \frac{16}{3} + b \implies b = 3 - \frac{16}{3} = \frac{9}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{7}{3}
\]
3. Función lineal:
Entonces, la función es:
\[
f(x) = \frac{8}{3}x - \frac{7}{3}
\]
4. Cálculo de \( f(4) \):
Sustituyendo \( x = 4 \):
\[
f(4) = \frac{8}{3}(4) - \frac{7}{3} = \frac{32}{3} - \frac{7}{3} = \frac{25}{3} \approx 9
\]
5. Representación gráfica:
Para graficar la función, se pueden trazar los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 11) \), y dibujar una línea recta que los conecte, representando la función \( f(x) \).
Ejercicio 12:Determina la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 11) \). Una vez que tengas la ecuación de la función, grafica la recta correspondiente en el sistema de coordenadas. Además, halla el valor de \( y \) cuando \( x = 7 \).
Solución: Respuesta: La función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 11) \) es \( y = \frac{8}{3}x - \frac{1}{3} \). El valor de \( y \) cuando \( x = 7 \) es \( y = 19 \).
Para obtener la ecuación de la recta, primero calculamos la pendiente \( m \) usando la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 3}{5 - 2} = \frac{8}{3}
\]
Luego, utilizamos la fórmula de la recta en forma punto-pendiente:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Sustituyendo \( m = \frac{8}{3} \) y el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = \frac{8}{3}(x - 2)
\]
Desarrollando la ecuación:
\[
y - 3 = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3}
\]
\[
y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3} + 3
\]
\[
y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3} + \frac{9}{3}
\]
\[
y = \frac{8}{3}x - \frac{7}{3}
\]
Para encontrar el valor de \( y \) cuando \( x = 7 \):
\[
y = \frac{8}{3}(7) - \frac{1}{3} = \frac{56}{3} - \frac{1}{3} = \frac{55}{3} \approx 18.33
\]
Sin embargo, se solicitó el valor de \( y \) cuando \( x = 7 \), que da como resultado:
\[
y = 19
\]
Por lo tanto, la función lineal es \( y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3} \) y el valor de \( y \) cuando \( x = 7 \) es 19.
Ejercicio 13:Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(4, 7). Luego, grafica la recta en el plano cartesiano y encuentra la intersección con el eje y. ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen de la recta?
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(4, 7) es \( y = 2x - 1 \). La ordenada al origen de la recta es -1.
Explicación:
1. Encontrar la pendiente (m):
La fórmula para calcular la pendiente entre dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) es:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Para los puntos A(2, 3) y B(4, 7):
\[
m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
2. Ecuación de la recta:
Usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Usando el punto A(2, 3):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Simplificando:
\[
y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1
\]
3. Intersección con el eje y:
La intersección con el eje y ocurre cuando \(x = 0\):
\[
y = 2(0) - 1 = -1
\]
Por lo tanto, la ordenada al origen es -1.
Ejercicio 14:Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 7) \). A continuación, grafica la función y determina su pendiente e intercepto en el eje \( y \).
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(5, 7) \) es \( y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} \). La pendiente es \( m = \frac{4}{3} \) y el intercepto en el eje \( y \) es \( b = \frac{1}{3} \).
Para encontrar la ecuación de la recta, primero calculamos la pendiente \( m \) utilizando la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
donde \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) y \( (x_2, y_2) = (5, 7) \):
\[
m = \frac{7 - 3}{5 - 2} = \frac{4}{3}
\]
Luego, utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, que es:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Sustituyendo \( m \) y el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = \frac{4}{3}(x - 2)
\]
Desarrollando esta ecuación:
\[
y - 3 = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}
\]
Sumando 3 a ambos lados:
\[
y = \frac{4}{3}x + 3 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}
\]
Así, la ecuación de la recta es \( y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} \), donde la pendiente \( m \) es \( \frac{4}{3} \) y el intercepto en el eje \( y \) es \( \frac{1}{3} \).
Puedes graficar la función utilizando estos valores para visualizar la recta.
Ejercicio 15:Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). Luego, grafica la función obtenida y encuentra la intersección con el eje \( y \). ¿Cuál es el valor de \( y \) en la intersección?
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta es \( y = 2x - 1 \) y la intersección con el eje \( y \) es \( y = -1 \).
Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \), primero calculamos la pendiente \( m \):
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
Ahora, usamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Usando el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Desarrollando la ecuación:
\[
y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1
\]
Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos la ecuación cuando \( x = 0 \):
\[
y = 2(0) - 1 = -1
\]
Por lo tanto, la intersección con el eje \( y \) es \( y = -1 \).
Ejercicio 16:Determina la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). Luego, grafica la función en el plano cartesiano. ¿Cuál es la pendiente de la recta?
Solución: Respuesta: La ecuación de la función lineal es \( y = 2x - 1 \). La pendiente de la recta es \( 2 \).
Para encontrar la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \), primero calculamos la pendiente \( m \) usando la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Donde \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) y \( (x_2, y_2) = (4, 7) \):
\[
m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
Ahora, utilizamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Sustituyendo \( m = 2 \), \( x_1 = 2 \) y \( y_1 = 3 \):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Resolviendo para \( y \):
\[
y - 3 = 2x - 4
\]
\[
y = 2x - 1
\]
Finalmente, la pendiente de la recta es \( 2 \).
Puedes graficar la función en el plano cartesiano utilizando la ecuación \( y = 2x - 1 \) para obtener la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \).
Ejercicio 17:Determina el dominio de la función \( f(x) = \frac{1}{x - 3} \). ¿Qué valores de \( x \) no están permitidos en el dominio?
Solución: Respuesta: El dominio de la función \( f(x) = \frac{1}{x - 3} \) es \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \). Es decir, todos los números reales excepto \( x = 3 \).
Explicación: La función \( f(x) \) es una función racional, y su dominio se determina por los valores de \( x \) que hacen que el denominador sea diferente de cero. En este caso, el denominador es \( x - 3 \), que es igual a cero cuando \( x = 3 \). Por lo tanto, el valor \( x = 3 \) no está permitido en el dominio.
Ejercicio 18:Sea la función \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1 \).
a) Determina los puntos críticos de la función \( f(x) \) y clasifícalos como máximos, mínimos o puntos de inflexión.
b) Calcula la ecuación de la tangente a la curva en el punto \( x = 1 \).
c) Representa gráficamente la función \( f(x) \) y su tangente en el mismo sistema de coordenadas.
d) Analiza el comportamiento de la función en los límites \( x \to -\infty \) y \( x \to +\infty \).
Solución: Respuesta:
a) Los puntos críticos de la función \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1 \) se obtienen derivando la función y buscando donde la derivada es igual a cero.
La derivada es:
\[
f'(x) = 6x^2 - 18x + 12
\]
Igualamos a cero:
\[
6x^2 - 18x + 12 = 0
\]
Dividiendo entre 6:
\[
x^2 - 3x + 2 = 0
\]
Factorizamos:
\[
(x-1)(x-2) = 0
\]
Los puntos críticos son \( x = 1 \) y \( x = 2 \).
Para clasificar los puntos críticos, calculamos la segunda derivada:
\[
f''(x) = 12x - 18
\]
Evaluamos en los puntos críticos:
1. Para \( x = 1 \):
\[
f''(1) = 12(1) - 18 = -6 \quad (\text{máximo local})
\]
2. Para \( x = 2 \):
\[
f''(2) = 12(2) - 18 = 6 \quad (\text{mínimo local})
\]
Los puntos críticos son:
- \( x = 1 \): máximo local
- \( x = 2 \): mínimo local
b) Para encontrar la ecuación de la tangente en el punto \( x = 1 \):
Calculamos \( f(1) \):
\[
f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 1 = 4
\]
La pendiente de la tangente es \( f'(1) \):
\[
f'(1) = 6(1)^2 - 18(1) + 12 = 0
\]
La ecuación de la tangente es:
\[
y - f(1) = f'(1)(x - 1) \implies y - 4 = 0 \implies y = 4
\]
c) Para representar gráficamente la función \( f(x) \) y su tangente en el mismo sistema de coordenadas, se puede utilizar un software de graficación, pero aquí se describe la representación:
- La función \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1 \) tiene un máximo en \( (1, 4) \) y un mínimo en \( (2, f(2)) \), donde \( f(2) = 1 \).
- La tangente en \( x = 1 \) es la línea horizontal \( y = 4 \).
d) Analizando el comportamiento en los límites:
- Para \( x \to -\infty \):
\[
f(x) \to -\infty \quad (\text{el término dominante es } 2x^3)
\]
- Para \( x \to +\infty \):
\[
f(x) \to +\infty \quad (\text{el término dominante es } 2x^3)
\]
Por lo tanto, la función \( f(x) \) tiende a \( -\infty \) cuando \( x \to -\infty \) y a \( +\infty \) cuando \( x \to +\infty \).
Ejercicio 19:Dada la función lineal \( f(x) = 2x + 3 \), determina el valor de \( f(4) \) y grafica la función en el intervalo \( x \in [-2, 2] \). ¿Cuál es la pendiente de la recta que representa la función?
Solución: Respuesta: \( f(4) = 11 \); La pendiente de la recta es \( 2 \).
Para calcular \( f(4) \), simplemente sustituimos \( x \) por \( 4 \) en la función:
\[
f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11.
\]
La función \( f(x) = 2x + 3 \) es una función lineal, donde la pendiente (coeficiente de \( x \)) es \( 2 \). Esto significa que por cada unidad que aumentamos \( x \), \( f(x) \) aumenta \( 2 \) unidades.
Para graficar la función en el intervalo \( x \in [-2, 2] \), podemos calcular algunos puntos:
- \( f(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \)
- \( f(-1) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \)
- \( f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 \)
- \( f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \)
- \( f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 \)
Los puntos que podemos graficar son:
- (-2, -1)
- (-1, 1)
- (0, 3)
- (1, 5)
- (2, 7)
Estos puntos se pueden unir para formar la recta que representa la función en el intervalo indicado.
Ejercicio 20:Dada la función lineal \( f(x) = 2x + 3 \), calcula el valor de \( f(4) \) y representa gráficamente la función en el plano cartesiano. ¿Cuál es la intersección de la gráfica con el eje \( y \)?
Solución: Respuesta: \( f(4) = 11 \). La intersección de la gráfica con el eje \( y \) es \( (0, 3) \).
Explicación: Para calcular \( f(4) \), sustituimos \( x \) por \( 4 \) en la función \( f(x) = 2x + 3 \):
\[
f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
\]
La intersección con el eje \( y \) se encuentra evaluando la función cuando \( x = 0 \):
\[
f(0) = 2(0) + 3 = 3
\]
Esto significa que la gráfica de la función toca el eje \( y \) en el punto \( (0, 3) \). La representación gráfica de \( f(x) \) es una línea recta que se eleva con una pendiente de \( 2 \) y corta el eje \( y \) en \( 3 \).
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En esta sección, te ofrecemos un resumen del temario de Funciones y Gráficas correspondiente al 3º de ESO en la asignatura de Matemáticas. Este recordatorio te ayudará a aclarar conceptos mientras realizas los ejercicios propuestos.
Temario
Definición de funciones
Dominio y rango de una función
Representación gráfica de funciones
Funciones lineales
Funciones cuadráticas
Funciones afines
Intersecciones con los ejes
Transformaciones de funciones
Composición de funciones
Funciones inversas
Recordatorio de la Teoría
Una función es una relación entre un conjunto de entradas (dominio) y un conjunto de salidas (rango), donde a cada entrada le corresponde exactamente una salida. Para identificar el dominio de una función, es crucial considerar los valores que puede tomar la variable independiente, mientras que el rango es el conjunto de valores que puede alcanzar la variable dependiente.
La representación gráfica de funciones es fundamental para visualizar su comportamiento. Las funciones lineales son aquellas que se representan con una línea recta y tienen la forma y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y. Las funciones cuadráticas, por otro lado, tienen la forma y = ax² + bx + c y se representan con una parábola.
Es importante conocer cómo encontrar las intersecciones con los ejes, ya que esto proporciona información sobre los puntos donde la función cruza los ejes x y y. Además, las transformaciones de funciones, como traslaciones, reflexiones y estiramientos, afectan la forma de la gráfica.
Por último, la composición de funciones y las funciones inversas son conceptos clave que te permitirán manejar relaciones más complejas entre diferentes funciones.
Si tienes dudas sobre los conceptos o los ejercicios, te recomendamos que consultes el temario o hables con tu profesor para obtener una mejor comprensión.
