Ejercicios y Problemas 4º ESO

Solución:
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso. ► 1. Cálculo del producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) El producto escalar se calcula de la siguiente manera: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \] Con los valores de \(\vec{a} = (2, -3, 4)\) y \(\vec{b} = (-1, 5, 2)\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-3)(5) + (4)(2) \] Realizando las multiplicaciones y sumando: \[ = -2 - 15 + 8 = -9 \] ► 2. Cálculo de la norma de los vectores \(\|\vec{a}\|\) y \(\|\vec{b}\|\) La norma de un vector se calcula con la fórmula: \[ \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \] Para \(\vec{a}\): \[ \|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \] Para \(\vec{b}\): \[ \|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30} \] ► 3. Cálculo del ángulo \(\theta\) entre los vectores Usamos la fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} \] Sustituyendo los valores: \[ \cos(\theta) = \frac{-9}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{30}} = \frac{-9}{\sqrt{870}} \] Para encontrar el ángulo \(\theta\), calculamos: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{870}}\right) \] ► 4. Cálculo del vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\) El vector unitario \(\hat{a}\) se obtiene dividiendo el vector \(\vec{a}\) por su norma: \[ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\right) \] Respuesta: 1. Producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -9\) 2. Normas: \(\|\vec{a}\| = \sqrt{29}\), \(\|\vec{b}\| = \sqrt{30}\) 3. Ángulo \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{870}}\right)\) 4. Vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\): \(\hat{a} = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\right)\) ► Breve explicación: Hemos calculado el producto escalar de los vectores, sus normas, el ángulo entre ellos utilizando la relación del coseno y finalmente el vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\). Esta información es fundamental para entender la relación entre vectores en el espacio tridimensional.

Solución:
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso: ► Datos del problema 1. Aceleración \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \) 2. Tiempo de aceleración \( t_1 = 5 \, \text{s} \) 3. Tiempo de velocidad constante \( t_2 = 10 \, \text{s} \) 4. Tiempo de frenado \( t_3 = 4 \, \text{s} \) ► 1. Distancia total recorrida por el coche en los \(19\) segundos de movimiento Fase 1: Aceleración Utilizamos la fórmula de la distancia recorrida en movimiento uniformemente acelerado: \[ d_1 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] Dado que el coche parte del reposo (\(v_0 = 0\)): \[ d_1 = 0 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (5^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25 \, \text{m} \] Fase 2: Velocidad constante Primero, calculamos la velocidad máxima alcanzada al final de esta fase. La velocidad final al final de la fase de aceleración es: \[ v = v_0 + a t = 0 + 2 \cdot 5 = 10 \, \text{m/s} \] La distancia recorrida durante la fase de velocidad constante es: \[ d_2 = v \cdot t_2 = 10 \cdot 10 = 100 \, \text{m} \] Fase 3: Frenado Para el frenado, utilizamos la fórmula: \[ d_3 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] Donde la velocidad inicial \(v_0 = 10 \, \text{m/s}\) y la aceleración es negativa (\(a = -\frac{v_0}{t_3} = -\frac{10}{4} = -2.5 \, \text{m/s}^2\)). La distancia recorrida durante el frenado es: \[ d_3 = 10 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot (-2.5) \cdot (4^2) \] \[ = 40 - \frac{1}{2} \cdot 2.5 \cdot 16 = 40 - 20 = 20 \, \text{m} \] Distancia total recorrida: \[ d_{\text{total}} = d_1 + d_2 + d_3 = 25 + 100 + 20 = 145 \, \text{m} \] ► Respuesta 1: Respuesta: \(145 \, \text{m}\) ► 2. Velocidad máxima alcanzada por el coche Como calculamos anteriormente, la velocidad máxima es: \[ v_{\text{max}} = 10 \, \text{m/s} \] ► Respuesta 2: Respuesta: \(10 \, \text{m/s}\) ► 3. Desplazamiento total durante cada fase del movimiento - Fase 1 (Aceleración): \(d_1 = 25 \, \text{m}\) - Fase 2 (Velocidad constante): \(d_2 = 100 \, \text{m}\) - Fase 3 (Frenado): \(d_3 = 20 \, \text{m}\) ► Respuesta 3: Respuesta: - Fase 1: \(25 \, \text{m}\) - Fase 2: \(100 \, \text{m}\) - Fase 3: \(20 \, \text{m}\) ► Diagrama de tiempo-distancia Ahora representamos gráficamente el movimiento en un diagrama de tiempo-distancia: 1. Fase 1: Desde \(t=0\) hasta \(t=5\) segundos, la distancia aumenta de \(0 \, \text{m}\) a \(25 \, \text{m}\). 2. Fase 2: Desde \(t=5\) hasta \(t=15\) segundos, la distancia aumenta linealmente de \(25 \, \text{m}\) a \(125 \, \text{m}\). 3. Fase 3: Desde \(t=15\) hasta \(t=19\) segundos, la distancia aumenta de \(125 \, \text{m}\) a \(145 \, \text{m}\). Este movimiento se puede representar como un gráfico de línea que muestra el aumento de distancia en función del tiempo. ► Explicación breve Hemos analizado el movimiento del coche dividido en tres fases: aceleración, velocidad constante y frenado. Usamos fórmulas de cinemática para calcular la distancia recorrida y la velocidad máxima, así como para describir cada fase del movimiento. El resultado total nos indica que el coche recorrió \(145 \, \text{m}\) en \(19\) segundos.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes"; Predicado: "prepararon un proyecto innovador para la clase de ciencias." Explicación: El sujeto de la oración es quien realiza la acción, en este caso "Los estudiantes", mientras que el predicado es la parte de la oración que indica la acción que realizan, que en este caso es "prepararon un proyecto innovador para la clase de ciencias".

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO"; Predicado: "realizan sus tareas con dedicación". Explicación: En la oración, el sujeto es quien realiza la acción (los estudiantes), y el predicado es la acción que ellos llevan a cabo (realizan sus tareas con dedicación).

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO"; Predicado: "realizaron un proyecto sobre la literatura española." Explicación: El sujeto de la oración es quien realiza la acción, en este caso "Los estudiantes de 4º ESO", mientras que el predicado es la parte que nos dice qué hizo el sujeto, que en este caso es "realizaron un proyecto sobre la literatura española.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO"; Predicado: "estudian para sus exámenes." Explicación: El sujeto es la parte de la oración que realiza la acción o de la que se dice algo, en este caso, "Los estudiantes de 4º ESO". El predicado es la parte que indica la acción que realiza el sujeto, que en este caso es "estudian para sus exámenes.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO"; Predicado: "preparan un proyecto interesante para la clase de lengua." Explicación: El sujeto es la parte de la oración que indica quién realiza la acción, en este caso, "Los estudiantes de 4º ESO". El predicado es la parte que expresa la acción que realiza el sujeto, que en este caso es "preparan un proyecto interesante para la clase de lengua.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO"; Predicado: "estudian para los exámenes." Explicación: El sujeto de la oración es "Los estudiantes de 4º ESO", ya que es quien realiza la acción del verbo. El predicado es "estudian para los exámenes", que indica la acción que realizan los estudiantes.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO"; Predicado: "estudian para sus exámenes finales." Explicación: El sujeto es la parte de la oración que indica quién realiza la acción, en este caso, "Los estudiantes de 4º ESO". El predicado es la parte que expresa la acción que realiza el sujeto, que en este caso es "estudian para sus exámenes finales".

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO" | Predicado: "realizan sus tareas con entusiasmo." Clasificación: Sujeto simple | Predicado verbal. Explicación: El sujeto es "Los estudiantes de 4º ESO", que se refiere a un grupo específico de estudiantes, y es simple porque no contiene más de un núcleo. El predicado "realizan sus tareas con entusiasmo" es verbal, ya que el núcleo del predicado es el verbo "realizan".

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO"; Predicado: "estudian para los exámenes finales." Explicación: En la oración, el sujeto "Los estudiantes de 4º ESO" es el núcleo de la oración y nos dice quién realiza la acción. El predicado "estudian para los exámenes finales" indica la acción que realizan los estudiantes, siendo "estudian" el verbo principal.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO" (explícito); Predicado: "estudian para los exámenes finales". Explicación: El sujeto "Los estudiantes de 4º ESO" es explícito porque se menciona directamente en la oración. El predicado "estudian para los exámenes finales" indica la acción que realizan los estudiantes.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO" (explícito); Predicado: "estudian para los exámenes". Explicación: En la oración, el sujeto "Los estudiantes de 4º ESO" está claramente mencionado, por lo que se considera explícito. El predicado "estudian para los exámenes" indica la acción que realizan los estudiantes.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "Los estudiantes de 4º ESO" ; Predicado: "estudian para el examen de lengua." Explicación: En la oración, el sujeto es la parte que indica quién realiza la acción, que en este caso son "Los estudiantes de 4º ESO". El predicado es la parte que dice lo que hace el sujeto, que aquí es "estudian para el examen de lengua".

Solución:
Respuesta: Sujeto: "La profesora de matemáticas"; Predicado: "explica la lección con claridad." Sujeto simple. Explicación: En la oración, el sujeto "La profesora de matemáticas" está formado por un núcleo ("profesora") y un complemento del nombre ("de matemáticas"), pero no tiene más núcleos, por lo que se clasifica como sujeto simple. El predicado es lo que se dice del sujeto y en este caso, es "explica la lección con claridad", donde "explica" es el verbo.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "El perro de mi vecino"; Predicado: "ladra todas las noches." Sujeto simple. Explicación: En la oración, "El perro de mi vecino" es el sujeto, que se refiere a un solo núcleo (perro), por lo que es un sujeto simple. El predicado "ladra todas las noches" indica la acción que realiza el sujeto.

Solución:
Respuesta: Sujeto: "El perro de mi vecino"; Predicado: "ladra cada mañana." Sujeto: simple. Explicación: El sujeto "El perro de mi vecino" es simple porque se refiere a un único núcleo (perro), aunque tenga un complemento del nombre ("de mi vecino"). El predicado "ladra cada mañana" indica lo que hace el sujeto.

Solución:
Respuesta: Sí, \( x = 2 \) es una raíz del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 \). Al factorizar, obtenemos \( P(x) = (x - 2)(2x^2 + x + 3) \). --- Explicación: Para determinar si \( x = 2 \) es raíz del polinomio \( P(x) \), aplicamos la regla de Ruffini. Colocamos el coeficiente del polinomio en una fila y utilizamos \( x = 2 \) como el número que vamos a evaluar. 1. Escribimos los coeficientes: \( 2, -3, 4, -6 \). 2. Colocamos \( 2 \) a la izquierda y ejecutamos el proceso de Ruffini: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -6 \\ & & 4 & 2 & 12 \\ \hline & 2 & 1 & 6 & 6 \\ \end{array} \] El último número es \( 0 \), lo que indica que \( x = 2 \) es una raíz. La fila inferior representa el polinomio resultante: \( 2x^2 + 1x + 3 \). Por lo tanto, podemos factorizar \( P(x) \) como: \[ P(x) = (x - 2)(2x^2 + x + 3) \]

Solución:
Respuesta: Se vendieron \(30\) camisetas normales y \(20\) camisetas de edición limitada. Para resolver este ejercicio, planteamos un sistema de ecuaciones. 1. Sea \(x\) el número de camisetas normales vendidas. 2. Sea \(y\) el número de camisetas de edición limitada vendidas. A partir de la información del problema, podemos establecer las siguientes ecuaciones: \[ x + y = 50 \quad \text{(ecuación 1: total de camisetas)} \] \[ 10x + 20y = 700 \quad \text{(ecuación 2: total recaudado en euros)} \] Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones. De la ecuación 1, podemos despejar \(y\): \[ y = 50 - x \] Sustituimos este valor de \(y\) en la ecuación 2: \[ 10x + 20(50 - x) = 700 \] Desarrollamos la ecuación: \[ 10x + 1000 - 20x = 700 \] Simplificamos: \[ -10x + 1000 = 700 \] Restamos \(1000\) a ambos lados: \[ -10x = -300 \] Dividimos entre \(-10\): \[ x = 30 \] Ahora sustituimos \(x\) en la ecuación 1 para encontrar \(y\): \[ 30 + y = 50 \] Despejamos \(y\): \[ y = 50 - 30 = 20 \] Por lo tanto, la solución es \(x = 30\) (camisetas normales) y \(y = 20\) (camisetas de edición limitada).

Solución:
Respuesta: Se pueden formar 4 moles de C y el reactivo A quedará en exceso. Explicación: 1. Según la ecuación química balanceada: \[ \text{2A} + \text{3B} \rightarrow \text{2C} \] Se requieren 2 moles de A y 3 moles de B para producir 2 moles de C. 2. Para determinar cuál reactivo se agotará primero, analizamos la cantidad de moles disponibles: - Tenemos 4 moles de A. - Para esos 4 moles de A, se necesitarían: \[ \text{B necesaria} = \left( \frac{3 \text{ moles de B}}{2 \text{ moles de A}} \right) \times 4 \text{ moles de A} = 6 \text{ moles de B} \] - Como tenemos exactamente 6 moles de B, ambos reactivos se consumen completamente. 3. Calculamos los moles de C que se forman: - Usando los 4 moles de A: \[ \text{C formada} = \left( \frac{2 \text{ moles de C}}{2 \text{ moles de A}} \right) \times 4 \text{ moles de A} = 4 \text{ moles de C} \] 4. Sin embargo, dado que ambos reactivos se consumen completamente, en este caso no hay reactivo en exceso. Por lo tanto, se forman 4 moles de C y no queda ninguno en exceso.