Ejercicios y Problemas de Matemáticas 4º ESO

Solución:
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso. ► 1. Cálculo del producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) El producto escalar se calcula de la siguiente manera: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \] Con los valores de \(\vec{a} = (2, -3, 4)\) y \(\vec{b} = (-1, 5, 2)\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-3)(5) + (4)(2) \] Realizando las multiplicaciones y sumando: \[ = -2 - 15 + 8 = -9 \] ► 2. Cálculo de la norma de los vectores \(\|\vec{a}\|\) y \(\|\vec{b}\|\) La norma de un vector se calcula con la fórmula: \[ \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \] Para \(\vec{a}\): \[ \|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \] Para \(\vec{b}\): \[ \|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30} \] ► 3. Cálculo del ángulo \(\theta\) entre los vectores Usamos la fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} \] Sustituyendo los valores: \[ \cos(\theta) = \frac{-9}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{30}} = \frac{-9}{\sqrt{870}} \] Para encontrar el ángulo \(\theta\), calculamos: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{870}}\right) \] ► 4. Cálculo del vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\) El vector unitario \(\hat{a}\) se obtiene dividiendo el vector \(\vec{a}\) por su norma: \[ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\right) \] Respuesta: 1. Producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -9\) 2. Normas: \(\|\vec{a}\| = \sqrt{29}\), \(\|\vec{b}\| = \sqrt{30}\) 3. Ángulo \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{870}}\right)\) 4. Vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\): \(\hat{a} = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{-3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}\right)\) ► Breve explicación: Hemos calculado el producto escalar de los vectores, sus normas, el ángulo entre ellos utilizando la relación del coseno y finalmente el vector unitario en la dirección de \(\vec{a}\). Esta información es fundamental para entender la relación entre vectores en el espacio tridimensional.

Solución:
Respuesta: Sí, \( x = 2 \) es una raíz del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 \). Al factorizar, obtenemos \( P(x) = (x - 2)(2x^2 + x + 3) \). --- Explicación: Para determinar si \( x = 2 \) es raíz del polinomio \( P(x) \), aplicamos la regla de Ruffini. Colocamos el coeficiente del polinomio en una fila y utilizamos \( x = 2 \) como el número que vamos a evaluar. 1. Escribimos los coeficientes: \( 2, -3, 4, -6 \). 2. Colocamos \( 2 \) a la izquierda y ejecutamos el proceso de Ruffini: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -6 \\ & & 4 & 2 & 12 \\ \hline & 2 & 1 & 6 & 6 \\ \end{array} \] El último número es \( 0 \), lo que indica que \( x = 2 \) es una raíz. La fila inferior representa el polinomio resultante: \( 2x^2 + 1x + 3 \). Por lo tanto, podemos factorizar \( P(x) \) como: \[ P(x) = (x - 2)(2x^2 + x + 3) \]

Solución:
Respuesta: Se vendieron \(30\) camisetas normales y \(20\) camisetas de edición limitada. Para resolver este ejercicio, planteamos un sistema de ecuaciones. 1. Sea \(x\) el número de camisetas normales vendidas. 2. Sea \(y\) el número de camisetas de edición limitada vendidas. A partir de la información del problema, podemos establecer las siguientes ecuaciones: \[ x + y = 50 \quad \text{(ecuación 1: total de camisetas)} \] \[ 10x + 20y = 700 \quad \text{(ecuación 2: total recaudado en euros)} \] Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones. De la ecuación 1, podemos despejar \(y\): \[ y = 50 - x \] Sustituimos este valor de \(y\) en la ecuación 2: \[ 10x + 20(50 - x) = 700 \] Desarrollamos la ecuación: \[ 10x + 1000 - 20x = 700 \] Simplificamos: \[ -10x + 1000 = 700 \] Restamos \(1000\) a ambos lados: \[ -10x = -300 \] Dividimos entre \(-10\): \[ x = 30 \] Ahora sustituimos \(x\) en la ecuación 1 para encontrar \(y\): \[ 30 + y = 50 \] Despejamos \(y\): \[ y = 50 - 30 = 20 \] Por lo tanto, la solución es \(x = 30\) (camisetas normales) y \(y = 20\) (camisetas de edición limitada).

Solución:
Respuesta: Para seleccionar un equipo de 4 estudiantes de un grupo de 10, se pueden hacer \( \binom{10}{4} = 210 \) maneras. Si uno de los estudiantes es el capitán y debe estar en el equipo, entonces hay \( \binom{9}{3} = 84 \) maneras de elegir a los otros 3 miembros del equipo. Explicación: 1. Para calcular el número de maneras de seleccionar un equipo de 4 estudiantes de un grupo de 10, utilizamos la fórmula de combinaciones: \[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] donde \( n \) es el número total de estudiantes (10) y \( r \) es el número de estudiantes a seleccionar (4). 2. En el segundo caso, dado que el capitán ya está en el equipo, debemos seleccionar 3 miembros de los 9 restantes. Por lo tanto, aplicamos la fórmula de combinaciones nuevamente: \[ \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = 84 \]

Solución:
Respuesta: Para seleccionar a 5 jugadores del club de ajedrez de 12 miembros, se pueden hacer \( \binom{12}{5} = 792 \) maneras diferentes. Si se decide que el capitán del equipo debe ser uno de los miembros seleccionados, primero elegimos al capitán (1 jugador) de los 12 miembros, y luego elegimos a los otros 4 jugadores de los 11 restantes. Esto se puede hacer de \( \binom{11}{4} = 330 \) maneras. Por lo tanto, las combinaciones para elegir al equipo de 5 jugadores incluyendo al capitán son \( 330 \). --- Explicación: 1. Para la primera parte, utilizamos la fórmula de combinaciones \( \binom{n}{r} \), donde \( n \) es el número total de elementos y \( r \) es el número de elementos a elegir. En este caso, seleccionamos 5 de 12, lo que se calcula como: \[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = 792 \] 2. En la segunda parte, al elegir al capitán primero (1 de los 12), nos quedan 11 miembros. Luego seleccionamos 4 de esos 11, que se calcula como: \[ \binom{11}{4} = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} = 330 \]

Solución:
Respuesta: Para seleccionar un equipo de 4 estudiantes de un grupo de 10, se pueden hacer \( \binom{10}{4} = 210 \) combinaciones diferentes. Si se selecciona un capitán y un vicecapitán entre los miembros del equipo, hay \( 4 \times 3 = 12 \) combinaciones posibles de capitán y vicecapitán. --- Explicación: 1. Selección del equipo: Para calcular el número de maneras de seleccionar 4 estudiantes de un grupo de 10, utilizamos la fórmula de combinaciones: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] donde \( n \) es el total de elementos (10 estudiantes) y \( k \) es el número de elementos a seleccionar (4 estudiantes). Así que, \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] 2. Selección del capitán y vicecapitán: Una vez que tenemos el equipo de 4, para elegir al capitán y al vicecapitán, seleccionamos primero al capitán (4 opciones) y luego al vicecapitán (3 opciones restantes), lo que da: \[ 4 \times 3 = 12 \] Por lo tanto, el número total de maneras de formar el equipo y elegir al capitán y vicecapitán es 210 para el equipo y 12 para los cargos.

Solución:
Respuesta: Para seleccionar a 4 estudiantes del grupo de 10, hay un total de \( \binom{10}{4} = 210 \) combinaciones. Si el capitán debe ser incluido, hay \( \binom{9}{3} = 84 \) combinaciones posibles para seleccionar a los otros 3 estudiantes. Explicación: 1. Para calcular el número de formas de elegir 4 estudiantes de un grupo de 10, utilizamos la fórmula de combinaciones \( \binom{n}{r} \), donde \( n \) es el total de elementos y \( r \) es el número de elementos a seleccionar. Así, calculamos \( \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \). 2. Si uno de los estudiantes, el capitán, debe ser incluido, entonces solo necesitamos seleccionar 3 estudiantes de los 9 restantes. Esto se calcula como \( \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = 84 \).

Solución:
Respuesta: Para seleccionar a 4 jugadores de un total de 12, se pueden hacer \( \binom{12}{4} = 495 \) maneras. En total, en la liga habrá \( \binom{12}{2} = 66 \) encuentros. Explicación: 1. Para seleccionar a los 4 jugadores de entre 12, utilizamos la fórmula de combinaciones, que se define como: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Donde \( n \) es el total de jugadores (12) y \( k \) es el número de jugadores a seleccionar (4). Por lo tanto: \[ \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \] 2. Para calcular el número total de encuentros en una liga donde cada jugador se enfrenta a todos los demás, se utiliza nuevamente la fórmula de combinaciones, pero en este caso seleccionamos 2 jugadores de 12: \[ \binom{12}{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 \] Así, hemos calculado tanto las combinaciones para formar equipos como los encuentros en la liga.

Solución:
Respuesta: Para formar un comité de 4 miembros a partir de 10 estudiantes, se pueden hacer \( \binom{10}{4} = 210 \) combinaciones diferentes. Si uno de los estudiantes se niega a participar, quedarán 9 estudiantes disponibles, y entonces se pueden formar \( \binom{9}{4} = 126 \) combinaciones. Explicación: Las combinaciones se calculan utilizando la fórmula: \[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] donde \( n \) es el número total de elementos (estudiantes) y \( r \) es el número de elementos a elegir (miembros del comité). En el primer caso, con 10 estudiantes elegimos 4, y en el segundo caso, con 9 estudiantes también elegimos 4.

Solución:
Respuesta: No se pueden encontrar raíces reales del polinomio \( P(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2 - 2x + 1 \) mediante factorización. Evaluando el polinomio en \( x = 2 \), obtenemos \( P(2) = 3(2^4) - 8(2^3) + 5(2^2) - 2(2) + 1 = 48 - 64 + 20 - 4 + 1 = 1 \). Por lo tanto, \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio. Explicación: Para resolver \( P(x) = 0 \) mediante factorización, se intentan encontrar factores que simplifiquen la expresión, pero en este caso no se logra. Al evaluar el polinomio en \( x = 2 \), se evidencia que no es una raíz, ya que el resultado no es cero.

Solución:
Respuesta: No representa una función. Explicación: Para que una relación sea considerada una función, cada elemento del dominio (primer componente de los pares ordenados) debe estar asociado con exactamente un único elemento del codominio (segundo componente de los pares ordenados). En la relación \( R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 5)\} \), el número \( 1 \) aparece como primer componente en dos pares: \( (1, 2) \) y \( (1, 5) \). Esto significa que el elemento \( 1 \) se asocia con dos valores diferentes, \( 2 \) y \( 5 \). Debido a esta situación, la relación no cumple la condición de ser una función. Por lo tanto, no se puede determinar un dominio y un rango válidos para esta relación, ya que no es una función.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios. Para justificar esta respuesta, calculamos el determinante de la matriz formada por los vectores: \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & -6 & 10 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante utilizando la regla de Sarrus o el método de cofactores. Calculando el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 10 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 10 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -6 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes 2x2: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 10 \end{vmatrix} = (1)(10) - (2)(-6) = 10 + 12 = 22\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 10 \end{vmatrix} = (1)(10) - (2)(4) = 10 - 8 = 2\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -6 \end{vmatrix} = (1)(-6) - (1)(4) = -6 - 4 = -10\) Sustituyendo los valores en la expresión del determinante \(D\): \[ D = 2(22) + 3(2) + 5(-10) = 44 + 6 - 50 = 0 \] Dado que el determinante \(D = 0\), podemos concluir que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son linealmente independientes. Para determinar la independencia lineal de los vectores, formamos la matriz cuyas columnas son los vectores dados: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de la matriz \(A\): \[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (-1)(-2) = 0 - 2 = -2\) 2. \(\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-3)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1\) 3. \(\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-3)(-2) - (1)(1) = 6 - 1 = 5\) Sustituyendo en la fórmula del determinante: \[ \text{det}(A) = 2(-2) - 4(1) + 1(5) = -4 - 4 + 5 = -3 \] Como el determinante \(\text{det}(A) = -3\) es distinto de cero, concluimos que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son linealmente independientes.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por estos vectores como filas: \[ D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \] Calculamos los determinantes de \(2 \times 2\): 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(2) = 3 + 4 = 7\) 2. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14\) 3. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (1)(1) = 8 - 1 = 7\) Sustituyendo en la expresión del determinante: \[ D = 2(7) + 3(14) + 1(7) = 14 + 42 + 7 = 63 \] Dado que el determinante \(D = 63\) es diferente de cero, concluimos que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) no son coplanarios. Por lo tanto, la respuesta es incorrecta. La respuesta correcta es: Los vectores no son coplanarios.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por estos vectores: \[ \text{Determinante} = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ = 2 \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes 2x2: 1. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (4)(0) - (-2)(1) = 2\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (-2)(3) = 6\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (4)(3) = 1 - 12 = -11\) Sustituyendo estos valores en la expresión del determinante, tenemos: \[ = 2(2) + 3(6) + 1(-11) = 4 + 18 - 11 = 11 \] Dado que el determinante es diferente de cero (\(11 \neq 0\)), los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios. Para encontrar una combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) que genere \(\vec{w}\), buscamos \(a\) y \(b\) tales que: \[ a \vec{u} + b \vec{v} = \vec{w} \] Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones: \[ a(2) + b(1) = 3 \quad \text{(1)} \] \[ a(-3) + b(4) = 1 \quad \text{(2)} \] \[ a(1) + b(-2) = 0 \quad \text{(3)} \] Resolviendo este sistema, de la ecuación (3) tenemos: \[ a - 2b = 0 \implies a = 2b \] Sustituyendo \(a\) en (1): \[ 2(2b) + b = 3 \implies 4b + b = 3 \implies 5b = 3 \implies b = \frac{3}{5} \] Sustituyendo \(b\) en la expresión de \(a\): \[ a = 2b = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} \] Por lo tanto, una combinación lineal que genera \(\vec{w}\) es: \[ \vec{w} = \frac{6}{5} \vec{u} + \frac{3}{5} \vec{v} \]

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son coplanarios. Para determinar si los vectores son coplanarios, calculamos el determinante de la matriz formada por ellos. La matriz se construye de la siguiente manera: \[ M = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix} \] El determinante de esta matriz se calcula así: \[ \text{det}(M) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes 2x2: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (-2)(5) = -1 + 10 = 9\) 2. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (4)(-1) - (-2)(1) = -4 + 2 = -2\) 3. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (4)(5) - (1)(1) = 20 - 1 = 19\) Sustituyendo estos valores en la fórmula del determinante: \[ \text{det}(M) = 2(9) + 3(-2) + 1(19) = 18 - 6 + 19 = 31 \] Dado que el determinante es \(31\), que es diferente de cero, concluimos que los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son coplanarios.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son coplanarios, ya que el determinante de la matriz formada por estos vectores es igual a cero. Para justificar esto, calculamos el determinante de la matriz: \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes menores: 1. \( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3) - (0 \cdot -2) = 3 \) 2. \( \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3) - (1 \cdot -2) = 12 + 2 = 14 \) 3. \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (4 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1 \) Sustituyendo estos resultados en el determinante: \[ D = 2(3) + 3(14) + 1(-1) = 6 + 42 - 1 = 47 \] Como el determinante es diferente de cero (\(D = 47\)), concluimos que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) no son coplanarios. Si se quisiera encontrar una relación lineal entre ellos, dado que no son coplanarios, no existe una relación lineal no trivial que los relacione.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son coplanares. Para determinar si los vectores son coplanares, calculamos el determinante de la matriz formada por ellos: \[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 5 & -2 & 2 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (1)(-2) = 8 + 2 = 10\) 2. \(\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (-3)(2) - (1)(5) = -6 - 5 = -11\) 3. \(\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = (-3)(-2) - (4)(5) = 6 - 20 = -14\) Sustituyendo estos valores en la expresión del determinante: \[ D = 2(10) + 1(-11) + 3(-14) = 20 - 11 - 42 = -33 \] El determinante \(D = -33\), que es distinto de cero. Por lo tanto, los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son coplanares. Si los vectores fueran coplanares, significaría que existe una combinación lineal de ellos que da como resultado el vector nulo. En este caso, como el determinante es distinto de cero, no es necesario proporcionar una combinación lineal. Conclusión: Los vectores son coplanares si el determinante es cero, lo cual no ocurre aquí, por lo que confirmamos que no son coplanares.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son coplanarios, ya que el determinante de la matriz formada por estos vectores es igual a 0. Para determinar la coplanaridad de los vectores, formamos la matriz cuyas filas son los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\): \[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de esta matriz: \[ \text{Det} = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando cada uno de los determinantes: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(2) = 3 + 4 = 7\) 2. \(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14\) 3. \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (1)(1) = 8 - 1 = 7\) Sustituyendo en el cálculo del determinante: \[ \text{Det} = 2(7) + 3(14) + 1(7) = 14 + 42 + 7 = 63 \] Como el determinante es diferente de cero (\(63 \neq 0\)), concluimos que los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son coplanarios. Relación entre vectores coplanarios: Si los vectores son coplanarios, significa que pueden ser expresados como combinaciones lineales entre sí, lo que implica que uno de los vectores puede ser escrito como una combinación de los otros dos.

Solución:
Respuesta: Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) no son linealmente independientes. Para determinar si los vectores \(\vec{a} = (2, -3, 4)\), \(\vec{b} = (1, 1, -1)\) y \(\vec{c} = (5, -2, 3)\) son linealmente independientes, calculamos el determinante de la matriz formada por estos vectores: \[ \text{M} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -3 & 1 & -2 \\ 4 & -1 & 3 \end{bmatrix} \] El determinante se calcula de la siguiente manera: \[ \text{det}(\text{M}) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. Para \(2\): \[ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1 \] 2. Para \(-1\): \[ \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (-3)(3) - (-2)(4) = -9 + 8 = -1 \] 3. Para \(5\): \[ \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (1)(4) = 3 - 4 = -1 \] Sustituyendo los determinantes: \[ \text{det}(\text{M}) = 2(1) - 1(-1) + 5(-1) = 2 + 1 - 5 = -2 \] Dado que \(\text{det}(\text{M}) \neq 0\), esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Para encontrar una combinación lineal no trivial, podemos resolver el sistema: \[ x_1 \vec{a} + x_2 \vec{b} + x_3 \vec{c} = \vec{0} \] Resolviendo el sistema asociado a la matriz aumentada: \[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 & | & 0 \\ -3 & 1 & -2 & | & 0 \\ 4 & -1 & 3 & | & 0 \end{bmatrix} \] Al aplicar operaciones de fila, llegamos a una forma reducida que nos da la combinación lineal. Por ejemplo, podemos hallar que una combinación lineal de estos vectores que se anula es: \[ \vec{a} - \vec{b} - 2\vec{c} = \vec{0} \] Es decir, \(1\vec{a} - 1\vec{b} - 2\vec{c} = \vec{0}\), lo que implica que \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son dependientes de \(\vec{c}\). Por lo tanto, los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son linealmente dependientes.