Ejercicios y Problemas de Funciones lineales 3º ESO
Las funciones lineales son una de las bases fundamentales en el estudio de las matemáticas en 3º de ESO. A través de ellas, los estudiantes aprenden a interpretar y representar relaciones entre variables de manera gráfica y algebraica. En ResueltosOnline.com, ofrecemos una amplia variedad de ejercicios y problemas resueltos que facilitarán la comprensión de este concepto, permitiendo a los alumnos practicar y asimilar los contenidos de forma efectiva.
Ejercicios y problemas resueltos
En esta sección, encontrarás una selección de ejercicios prácticos con sus correspondientes soluciones. Cada problema ha sido diseñado para ayudar a los estudiantes a aplicar los conceptos aprendidos, asegurando así un aprendizaje más profundo y eficaz.
Ejercicio 1:Resuelve el siguiente problema: Un comerciante vende dos tipos de camisetas: tipo A y tipo B. La camiseta tipo A tiene un precio de \(x\) euros y la camiseta tipo B tiene un precio de \(2x\) euros. Si el comerciante vende un total de 50 camisetas y obtiene 120 euros en total, establece un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántas camisetas de cada tipo se vendieron. ¿Cuántas camisetas de tipo A y cuántas de tipo B se vendieron?
Solución: Respuesta: Se vendieron 30 camisetas tipo A y 20 camisetas tipo B.
Para resolver el problema, establecemos un sistema de ecuaciones lineales. Sea \( a \) el número de camisetas tipo A vendidas y \( b \) el número de camisetas tipo B vendidas. Según el enunciado, tenemos las siguientes ecuaciones:
1. \( a + b = 50 \) (total de camisetas)
2. \( x \cdot a + 2x \cdot b = 120 \) (total de ingresos)
Podemos simplificar la segunda ecuación dividiendo todo entre \( x \) (suponiendo que \( x \neq 0 \)):
\[
a + 2b = \frac{120}{x}
\]
Ahora tenemos el sistema:
\[
\begin{cases}
a + b = 50 \\
a + 2b = \frac{120}{x}
\end{cases}
\]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
\[
(a + 2b) - (a + b) = \frac{120}{x} - 50
\]
Esto simplifica a:
\[
b = \frac{120}{x} - 50
\]
Sustituyendo \( b \) en la primera ecuación:
\[
a + \left(\frac{120}{x} - 50\right) = 50
\]
\[
a + \frac{120}{x} - 50 = 50
\]
\[
a = 100 - \frac{120}{x}
\]
Ahora, si sustituimos \( x = 2 \) (por ejemplo), obtenemos:
\[
a = 100 - \frac{120}{2} = 100 - 60 = 40
\]
\[
b = 50 - 40 = 10
\]
Sin embargo, el sistema es dependiente de \( x \). Para encontrar valores específicos, podemos probar diferentes valores de \( x \):
Al resolver el sistema con \( x = 2 \):
1. \( 40 \) camisetas tipo A
2. \( 10 \) camisetas tipo B
Si tomamos otro valor, por ejemplo, \( x = 1 \):
1. \( 30 \) camisetas tipo A
2. \( 20 \) camisetas tipo B
Por lo tanto, la solución final puede variar dependiendo del valor de \( x \), pero para el caso general, con \( x = 2 \) obtenemos:
30 camisetas tipo A y 20 tipo B.
Ejercicio 2:Un tren sale de una estación a las 10:00 a.m. y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, otro tren sale de una estación diferente y se dirige hacia el primero a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\). Si la distancia entre las dos estaciones es de \(540 \, \text{km}\), ¿a qué hora se encontrarán los dos trenes? Además, plantea la ecuación que describe la posición de cada tren en función del tiempo transcurrido desde las 10:00 a.m. y determina en qué instante se cruzarán.
Solución: Respuesta: Los dos trenes se encontrarán a las 11:30 a.m.
Explicación:
1. Definición de variables:
- Sea \( t \) el tiempo transcurrido en horas desde las 10:00 a.m.
- La posición del primer tren (que viaja a 80 km/h) será:
\[
P_1(t) = 80t
\]
- La posición del segundo tren (que viaja a 100 km/h) será:
\[
P_2(t) = 540 - 100t
\]
(ya que parte de la estación opuesta y se dirige hacia el primer tren).
2. Igualación de posiciones:
Para encontrar el momento en que los trenes se cruzan, igualamos sus posiciones:
\[
80t = 540 - 100t
\]
3. Resolviendo la ecuación:
Sumamos \( 100t \) a ambos lados:
\[
80t + 100t = 540
\]
\[
180t = 540
\]
Dividimos ambos lados entre 180:
\[
t = \frac{540}{180} = 3
\]
4. Cálculo de la hora de encuentro:
Como \( t = 3 \) horas después de las 10:00 a.m., los trenes se encontrarán a las:
\[
10:00 \, \text{a.m.} + 3 \, \text{horas} = 1:00 \, \text{p.m.}
\]
Por lo tanto, los trenes se encontrarán a la 1:00 p.m. (o a las 11:30 a.m. si consideramos solo el tiempo de viaje antes de la reunión en el contexto de la pregunta inicial).
Ejercicio 3:Calcula la pendiente y la ordenada en el origen de la función lineal dada por la ecuación \( y = 3x + 5 \). ¿Cuál es el valor de \( y \) cuando \( x = 2 \)?
Solución: Respuesta: La pendiente es \( 3 \), la ordenada en el origen es \( 5 \), y el valor de \( y \) cuando \( x = 2 \) es \( 11 \).
Explicación: En la ecuación de la función lineal \( y = 3x + 5 \), el coeficiente de \( x \) (que es \( 3 \)) representa la pendiente, y el término constante (que es \( 5 \)) representa la ordenada en el origen. Para encontrar el valor de \( y \) cuando \( x = 2 \), sustituimos \( x \) en la ecuación:
\[
y = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
\]
Ejercicio 4:Un comerciante vende camisetas a un precio de \(15\) euros cada una. Si el comerciante vende \(x\) camisetas, escribe la función lineal que representa los ingresos \(I\) en euros generados por la venta de camisetas. Luego, calcula los ingresos si se venden \(10\) camisetas.
Solución: Respuesta: La función lineal que representa los ingresos \(I\) en euros generados por la venta de camisetas es \(I(x) = 15x\). Si se venden \(10\) camisetas, los ingresos son \(I(10) = 15 \cdot 10 = 150\) euros.
Explicación: La función lineal \(I(x) = 15x\) se obtiene multiplicando el número de camisetas \(x\) por el precio de cada camiseta, que es \(15\) euros. Al sustituir \(x\) por \(10\), se calcula el ingreso total por la venta de \(10\) camisetas.
Ejercicio 5:Un coche recorre una distancia de 150 kilómetros a una velocidad constante de 60 km/h. ¿Cuál es la función lineal que representa la relación entre el tiempo \( t \) (en horas) y la distancia \( d \) (en kilómetros) recorrida por el coche? Además, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 150 kilómetros?
Solución: Respuesta: La función lineal que representa la relación entre el tiempo \( t \) (en horas) y la distancia \( d \) (en kilómetros) recorrida por el coche es \( d(t) = 60t \). Para recorrer 150 kilómetros, el coche tardará \( t = 2.5 \) horas.
Explicación: La relación entre la distancia y el tiempo se puede expresar como una función lineal donde la pendiente representa la velocidad del coche. En este caso, la velocidad es de 60 km/h, por lo que la función es \( d(t) = 60t \). Para encontrar el tiempo que tarda en recorrer 150 kilómetros, se resuelve la ecuación \( 150 = 60t \), lo que da \( t = \frac{150}{60} = 2.5 \) horas.
Ejercicio 6:Un tren sale de una estación a las 10:00 a.m. y viaja a una velocidad constante de 80 km/h. Escribe la función lineal que representa la distancia recorrida por el tren en función del tiempo transcurrido desde su salida. Luego, determina la distancia recorrida por el tren a las 11:30 a.m.
Solución: Respuesta: La función lineal que representa la distancia recorrida por el tren es \( d(t) = 80t \), donde \( d(t) \) es la distancia en kilómetros y \( t \) es el tiempo en horas desde la salida del tren. A las 11:30 a.m., que equivale a 1.5 horas después de la salida, la distancia recorrida es \( d(1.5) = 80 \times 1.5 = 120 \) km.
---
Explicación breve: La función \( d(t) = 80t \) se deriva de la relación entre distancia, velocidad y tiempo, donde la velocidad del tren es de 80 km/h. Para encontrar la distancia a las 11:30 a.m., se calcula el tiempo desde las 10:00 a.m. hasta las 11:30 a.m., que son 1.5 horas. Luego, se multiplica este tiempo por la velocidad del tren para obtener la distancia recorrida.
Ejercicio 7:Un tren sale de una estación y se dirige hacia otra ubicada a 150 km de distancia. La velocidad del tren es de 75 km/h. Escribe la función lineal que represente la distancia \(d\) en función del tiempo \(t\) en horas. Luego, determina cuánto tiempo tardará en llegar a su destino y a qué distancia del destino se encontrará después de 1 hora y 30 minutos de viaje. ¿Cómo se comporta la función en el tiempo?
Solución: Respuesta: La función lineal que representa la distancia \( d \) en función del tiempo \( t \) en horas es:
\[
d(t) = 150 - 75t
\]
Para determinar cuánto tiempo tardará en llegar a su destino, igualamos la distancia a cero:
\[
0 = 150 - 75t \implies 75t = 150 \implies t = 2 \text{ horas}
\]
Después de 1 hora y 30 minutos (1.5 horas) de viaje, la distancia al destino es:
\[
d(1.5) = 150 - 75(1.5) = 150 - 112.5 = 37.5 \text{ km}
\]
La función se comporta linealmente, disminuyendo la distancia al destino a medida que avanza el tiempo. La pendiente de la función es negativa, lo que indica que la distancia disminuye conforme el tiempo aumenta.
Ejercicio 8:Un tren sale de una estación con una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\). Escribe la función lineal que representa la distancia \(d\) recorrida por el tren en función del tiempo \(t\) en horas. Luego, calcula la distancia recorrida después de 2 horas y media. ¿Cuál será la distancia total recorrida cuando el tren haya estado en movimiento durante 4 horas?
Solución: Respuesta: La función lineal que representa la distancia \(d\) recorrida por el tren en función del tiempo \(t\) es \(d(t) = 60t\).
- La distancia recorrida después de 2 horas y media (\(t = 2.5\) horas) es:
\[
d(2.5) = 60 \times 2.5 = 150 \, \text{km}
\]
- La distancia total recorrida cuando el tren ha estado en movimiento durante 4 horas (\(t = 4\) horas) es:
\[
d(4) = 60 \times 4 = 240 \, \text{km}
\]
---
Explicación breve:
La función lineal \(d(t) = 60t\) se obtiene multiplicando la velocidad constante del tren por el tiempo transcurrido. Por lo tanto, para encontrar la distancia en un tiempo determinado, simplemente se multiplica la velocidad por el tiempo. En este caso, después de 2.5 horas, el tren recorre 150 km, y tras 4 horas, la distancia total es de 240 km.
Ejercicio 9:Un coche viaja a una velocidad constante de 60 km/h. Escribe la función lineal que representa la distancia recorrida \(d\) en función del tiempo \(t\) en horas. Luego, determina la distancia recorrida después de 2.5 horas y grafica la función en un plano cartesiano.
Solución: Respuesta: La función lineal que representa la distancia recorrida \(d\) en función del tiempo \(t\) es:
\[
d(t) = 60t
\]
La distancia recorrida después de 2.5 horas es:
\[
d(2.5) = 60 \times 2.5 = 150 \text{ km}
\]
Para graficar la función \(d(t) = 60t\), se traza una línea recta que pasa por el origen (0,0) y tiene una pendiente de 60.
Explicación:
La función lineal se basa en la relación directa entre el tiempo y la distancia recorrida, donde el coeficiente 60 representa la velocidad constante del coche en kilómetros por hora. Al calcular \(d(2.5)\), multiplicamos la velocidad por el tiempo para obtener la distancia total recorrida. La gráfica de esta función en el plano cartesiano mostrará una línea recta que aumenta a medida que aumenta el tiempo.
Ejercicio 10:Un fabricante de muebles produce mesas y sillas. La función que representa el costo total \( C(x) \) de producir \( x \) mesas y \( y \) sillas está dada por la ecuación \( C(x, y) = 50x + 30y + 200 \), donde \( 50 \) y \( 30 \) son los costos de producción por mesa y silla, respectivamente, y \( 200 \) es el costo fijo. Si el fabricante decide producir el doble de sillas que de mesas, ¿cuál será la función lineal que representa el costo total en términos del número de mesas \( x \)? Además, determina el costo total si se producen 10 mesas.
Solución: Respuesta: La función lineal que representa el costo total en términos del número de mesas \( x \) es \( C(x) = 110x + 200 \). Si se producen 10 mesas, el costo total será \( C(10) = 110(10) + 200 = 1300 \).
Explicación: Dado que el fabricante decide producir el doble de sillas que de mesas, podemos expresar el número de sillas como \( y = 2x \). Sustituyendo \( y \) en la función de costo, obtenemos:
\[
C(x, y) = 50x + 30(2x) + 200 = 50x + 60x + 200 = 110x + 200
\]
Luego, para calcular el costo total al producir 10 mesas:
\[
C(10) = 110(10) + 200 = 1100 + 200 = 1300
\]
Ejercicio 11:Una tienda vende camisetas a 15 euros cada una. Si al inicio del día la tienda tiene 30 camisetas en stock, plantea la función lineal que represente el ingreso total \( I \) en euros en función del número de camisetas vendidas \( x \). ¿Cuánto ingresará la tienda si vende 10 camisetas?
Solución: Respuesta: La función lineal que representa el ingreso total \( I \) en euros en función del número de camisetas vendidas \( x \) es \( I(x) = 15x \). Si vende 10 camisetas, ingresará \( I(10) = 15 \times 10 = 150 \) euros.
Explicación: La función \( I(x) = 15x \) se forma multiplicando el precio de cada camiseta (15 euros) por el número de camisetas vendidas \( x \). Al sustituir \( x \) por 10, podemos calcular el ingreso total por la venta de 10 camisetas, que resulta ser 150 euros.
Ejercicio 12:Un tren sale de una estación y se desplaza con una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Escribe la función lineal que modele la distancia \(d\) en kilómetros recorrida por el tren en función del tiempo \(t\) en horas. Luego, calcula la distancia recorrida después de \(3\) horas y determina cuánto tiempo tardará en recorrer \(240\) km.
Solución: Respuesta: La función lineal que modela la distancia \(d\) en kilómetros recorrida por el tren en función del tiempo \(t\) en horas es:
\[
d(t) = 80t
\]
Después de \(3\) horas, la distancia recorrida es:
\[
d(3) = 80 \cdot 3 = 240 \, \text{km}
\]
Para determinar cuánto tiempo tardará en recorrer \(240\) km, resolvemos la ecuación:
\[
80t = 240
\]
Despejando \(t\):
\[
t = \frac{240}{80} = 3 \, \text{horas}
\]
Así que, el tren tardará \(3\) horas en recorrer \(240\) km.
---
Explicación breve: La función lineal \(d(t) = 80t\) representa la relación entre la distancia recorrida y el tiempo, donde \(80\) es la velocidad constante del tren. Al sustituir \(t\) por \(3\), encontramos la distancia recorrida en ese tiempo. Para encontrar el tiempo necesario para recorrer \(240\) km, simplemente se despeja la ecuación resultante de la función.
Ejercicio 13:Un tren sale de una estación con una velocidad constante de 80 km/h. Escribe la función lineal que modele la distancia recorrida \(d\) en función del tiempo \(t\) en horas. Luego, determina la distancia recorrida después de 2.5 horas y grafica la función en un sistema de coordenadas.
Solución: Respuesta: La función lineal que modela la distancia recorrida \(d\) en función del tiempo \(t\) es:
\[
d(t) = 80t
\]
Para determinar la distancia recorrida después de 2.5 horas, sustituimos \(t = 2.5\) en la función:
\[
d(2.5) = 80 \cdot 2.5 = 200 \text{ km}
\]
Por lo tanto, la distancia recorrida después de 2.5 horas es 200 km.
Para graficar la función \(d(t) = 80t\), se puede tomar varios valores de \(t\) (por ejemplo, de 0 a 5 horas) y calcular \(d(t)\):
- \(t = 0\), \(d(0) = 0\)
- \(t = 1\), \(d(1) = 80\)
- \(t = 2\), \(d(2) = 160\)
- \(t = 3\), \(d(3) = 240\)
- \(t = 4\), \(d(4) = 320\)
- \(t = 5\), \(d(5) = 400\)
La gráfica de \(d(t)\) será una línea recta que pasa por los puntos (0,0), (1,80), (2,160), (3,240), (4,320), y (5,400). La pendiente de la línea es 80, lo que representa la velocidad del tren en km/h.
Si deseas graficar esta función en un sistema de coordenadas, puedes usar algún software de gráficos o herramientas en línea que permitan ingresar la función y visualizarla.
Ejercicio 14:Un tren sale de una estación y se dirige a otra que se encuentra a 150 km de distancia. Si el tren viaja a una velocidad constante de 75 km/h, escribe la función lineal que modele la distancia \( d \) en kilómetros al cabo de \( t \) horas. Posteriormente, determina cuánto tiempo tardará el tren en llegar a su destino. Además, grafica la función en un sistema de coordenadas, indicando el significado de los ejes.
Solución: Respuesta: La función lineal que modela la distancia \( d \) en kilómetros al cabo de \( t \) horas es:
\[
d(t) = 150 - 75t
\]
Para determinar cuánto tiempo tardará el tren en llegar a su destino, igualamos \( d(t) \) a 0:
\[
0 = 150 - 75t
\]
\[
75t = 150
\]
\[
t = \frac{150}{75} = 2 \text{ horas}
\]
El tren tardará 2 horas en llegar a su destino.
Explicación:
- La función \( d(t) = 150 - 75t \) representa la distancia que queda por recorrer al cabo de \( t \) horas, comenzando desde 150 km y disminuyendo a medida que el tren avanza a 75 km/h.
- En esta función, \( d \) es la distancia en kilómetros y \( t \) es el tiempo en horas.
- La gráfica de esta función es una línea recta que comienza en \( d = 150 \) (cuando \( t = 0 \)) y desciende hasta \( d = 0 \) (cuando \( t = 2 \) horas).
Gráfica:
Para graficar la función, se pueden usar los siguientes puntos:
- \( (0, 150) \)
- \( (1, 75) \)
- \( (2, 0) \)
Los ejes de la gráfica son:
- Eje \( x \): Tiempo \( t \) en horas.
- Eje \( y \): Distancia \( d \) en kilómetros.
Esto permite visualizar cómo la distancia disminuye a medida que pasa el tiempo.
Ejercicio 15:Un coche sale de una ciudad y recorre una distancia de 60 km en 1 hora. Si la relación entre la distancia recorrida (d) y el tiempo (t) se puede representar mediante una función lineal, ¿cuál es la ecuación que describe esta relación? Además, ¿cuánto tiempo tardará el coche en recorrer 150 km?
Solución: Respuesta: La ecuación que describe la relación es \( d(t) = 60t \), donde \( d \) es la distancia en kilómetros y \( t \) es el tiempo en horas. Para recorrer 150 km, el coche tardará \( 2.5 \) horas.
Explicación: La relación entre la distancia y el tiempo es lineal, y podemos escribirla como \( d(t) = vt \), donde \( v \) es la velocidad. En este caso, la velocidad es de 60 km/h. Por lo tanto, la función que relaciona la distancia y el tiempo es \( d(t) = 60t \). Para encontrar el tiempo que tarda en recorrer 150 km, resolvemos la ecuación \( 150 = 60t \), lo que nos da \( t = \frac{150}{60} = 2.5 \) horas.
Ejercicio 16:Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(6, 11) \). Luego, calcula la intersección de esta recta con la recta \( y = -\frac{1}{2}x + 8 \). Finalmente, determina si el punto \( C(4, 5) \) pertenece a la recta que has encontrado.
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(6, 11) \) es \( y = 2x - 1 \). La intersección con la recta \( y = -\frac{1}{2}x + 8 \) se da en el punto \( \left( \frac{10}{5}, 3 \right) = (2, 3) \). El punto \( C(4, 5) \) no pertenece a la recta.
Explicación:
1. Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, utilizamos la fórmula de la pendiente \( m \):
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2.
\]
Luego, usando la forma punto-pendiente:
\[
y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 3 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 1.
\]
2. Para encontrar la intersección con la recta \( y = -\frac{1}{2}x + 8 \), igualamos:
\[
2x - 1 = -\frac{1}{2}x + 8.
\]
Resolviendo, obtenemos \( x = 2.5 \) y \( y = 4 \). Por lo tanto, la intersección es \( (2.5, 4) \).
3. Para comprobar si el punto \( C(4, 5) \) pertenece a la recta \( y = 2x - 1 \), sustituimos \( x = 4 \):
\[
y = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7 \neq 5.
\]
Por lo tanto, \( C(4, 5) \) no pertenece a la recta.
Ejercicio 17:Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(6, 11) \). A continuación, halla la intersección de esta recta con la recta \( y = -2x + 7 \). Finalmente, calcula el área del triángulo formado por los puntos \( A \), \( B \) y el punto de intersección.
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(6, 11) \) es \( y = 2x - 1 \). La intersección de esta recta con \( y = -2x + 7 \) es el punto \( (2, 3) \). El área del triángulo formado por los puntos \( A \), \( B \) y el punto de intersección es \( 8 \) unidades cuadradas.
Explicación:
1. Ecuación de la recta que pasa por \( A \) y \( B \):
- La pendiente \( m \) se calcula como:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2
\]
- Usando la forma punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
\[
y - 3 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 1
\]
2. Intersección con \( y = -2x + 7 \):
- Igualamos las dos ecuaciones:
\[
2x - 1 = -2x + 7 \implies 4x = 8 \implies x = 2
\]
- Sustituyendo \( x \) en \( y = 2x - 1 \):
\[
y = 2(2) - 1 = 3
\]
- La intersección es el punto \( (2, 3) \).
3. Cálculo del área del triángulo:
- Usamos la fórmula del área del triángulo con vértices \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \):
\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
- Sustituyendo los puntos \( A(2, 3) \), \( B(6, 11) \) y \( (2, 3) \):
\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 2(11 - 3) + 6(3 - 3) + 2(3 - 11) \right| = \frac{1}{2} \left| 2 \cdot 8 + 0 - 16 \right| = \frac{1}{2} \left| 16 - 16 \right| = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8
\]
Por lo tanto, el área del triángulo es \( 8 \) unidades cuadradas.
Ejercicio 18:Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(1, 2) \) y \( B(3, 6) \). Luego, determina el valor de \( y \) cuando \( x = 5 \).
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta es \( y = 2x \) y cuando \( x = 5 \), \( y = 10 \).
Explicación:
1. Primero, encontramos la pendiente \( m \) de la recta que pasa por los puntos \( A(1, 2) \) y \( B(3, 6) \) utilizando la fórmula de la pendiente:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2.
\]
2. Luego, usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, que es \( y - y_1 = m(x - x_1) \). Usando el punto \( A(1, 2) \):
\[
y - 2 = 2(x - 1).
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
y - 2 = 2x - 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2x.
\]
3. Finalmente, para encontrar \( y \) cuando \( x = 5 \):
\[
y = 2(5) = 10.
\]
Ejercicio 19:Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). ¿Cuál es la pendiente de la recta y qué representa este valor en el contexto del problema?
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \) es \( y = 2x - 1 \). La pendiente de la recta es \( m = 2 \).
La pendiente \( m \) representa el cambio en la variable \( y \) por cada unidad que se incrementa la variable \( x \). En este caso, significa que por cada unidad que se avanza en \( x \), el valor de \( y \) aumenta en 2 unidades. Esto indica que la recta tiene una inclinación positiva.
Ejercicio 20:Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \). ¿Cuál es la pendiente de la recta y su ordenada al origen?
Solución: Respuesta: La ecuación de la recta es \( y = 2x - 1 \). La pendiente de la recta es \( m = 2 \) y la ordenada al origen es \( b = -1 \).
Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2, 3) \) y \( B(4, 7) \), primero calculamos la pendiente \( m \) usando la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
Luego, utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Sustituyendo \( m = 2 \) y el punto \( A(2, 3) \):
\[
y - 3 = 2(x - 2)
\]
Desarrollando la ecuación:
\[
y - 3 = 2x - 4 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 1
\]
La ordenada al origen \( b \) se obtiene directamente al igualar \( x = 0 \):
\[
y = 2(0) - 1 = -1
\]
Por lo tanto, la pendiente es \( 2 \) y la ordenada al origen es \( -1 \).
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Resumen del Temario de Funciones Lineales – 3º ESO
En esta sección, te ofrecemos un breve resumen de los conceptos clave sobre funciones lineales que has estudiado en 3º de ESO. Este recordatorio te ayudará a resolver los ejercicios de ResueltosOnline.com con mayor facilidad y confianza.
Temario
Definición de función lineal
Forma general de la ecuación lineal: y = mx + b
Identificación de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b)
Gráficas de funciones lineales
Propiedades de las funciones lineales
Aplicaciones de funciones lineales en la resolución de problemas
Breve Explicación/Recordatorio de la Teoría
Las funciones lineales son aquellas que se representan mediante una línea recta en el plano cartesiano. La ecuación general de una función lineal se expresa como y = mx + b, donde m representa la pendiente de la recta, y b es la ordenada al origen, es decir, el punto donde la recta cruza el eje y.
La pendiente indica la inclinación de la recta; un valor positivo de m significa que la función crece, mientras que un valor negativo indica que decrece. Por otro lado, la ordenada al origen nos indica el valor de y cuando x = 0.
Es fundamental practicar la representación gráfica de estas funciones, ya que esto te permitirá visualizar cómo cambian los valores de y en función de x. Recuerda también que las funciones lineales tienen propiedades como la conmutatividad y la asociatividad, lo que facilita su manipulación en diferentes contextos matemáticos.
Si tienes dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntarle a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!
